Trigonometrische Funktion

Grundidee und wichtigste Funktionen

Trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, beschreiben rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen. Ursprünglich wurden sie an rechtwinkligen Dreiecken eingeführt. Tabellen mit Funktionswerten ermöglichen Berechnungen von Seitenlängen und Winkeln, etwa im Vermessungswesen. Außerdem sind trigonometrische Funktionen grundlegende Funktionen zur Beschreibung periodischer Vorgänge in Naturwissenschaften, Physik und Technik.

Die elementaren Funktionen sind:

• Sinus: sin
• Kosinus: cos
• Tangens: tan oder tg

Dazu kommen die Kehrwertfunktionen:

• Kosekans: csc = 1/sin
• Sekans: sec = 1/cos
• Kotangens: cot = 1/tan

Zwischen allen Funktionen bestehen enge Beziehungen. Genau genommen reicht eine einzige trigonometrische Funktion aus, um beliebige trigonometrische Probleme zu lösen; mehrere Funktionen machen Rechnungen und Formeln jedoch meist übersichtlicher. In Funktionstabellen wird der Kotangens besonders häufig zusammen mit dem Tangens verwendet. Funktionen wie Versinus, Coversinus, Exsekans, Exkosekans und Chord sind heute eher unüblich.

Definition im rechtwinkligen Dreieck

Im überwiegenden Schulgebrauch werden die Winkelfunktionen in einem rechtwinkligen Dreieck für Winkel von 0 bis 90° als Seitenverhältnisse definiert. Für ein Dreieck mit Katheten a und b und Hypotenuse c gilt für den Winkel α:

sin α = Gegenkathete von α / Hypotenuse = a/c

cos α = Ankathete von α / Hypotenuse = b/c

tan α = Gegenkathete von α / Ankathete von α = a/b

Für den anderen spitzen Winkel β gelten entsprechend:

sin β = b/c, cos β = a/c, tan β = b/a.

Diese Definition hängt nicht von der Größe des gewählten rechtwinkligen Dreiecks ab. In jedem rechtwinkligen Dreieck mit demselben Winkel α besitzen die entsprechenden Seitenverhältnisse denselben Wert; dies lässt sich beispielsweise mit den Strahlensätzen begründen.

Aus den Definitionen folgt unmittelbar:

tan α = sin α / cos α.

Da die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen 90° ergeben, gilt β = 90° − α. Deshalb besteht außerdem die Beziehung:

cos α = sin(90° − α).

Einheitskreis und mathematische Erweiterung

Der Einheitskreis hat den Radius r = 1. Mit ihm lassen sich die Winkelfunktionen auf Winkel von 0 bis 360° erweitern. Der Schnittpunkt eines Winkelschenkels mit dem Einheitskreis wird auf die Koordinatenachsen projiziert. Diese Projektionen liefern den Sinus und den Kosinus des Winkels. Tangenten an den Einheitskreis in den Punkten x = 1 beziehungsweise y = 1 schneiden den Winkelschenkel; ihre Projektionen liefern Tangens und Kotangens. Der Winkelschenkel muss dafür gegebenenfalls rückwärts verlängert werden.

Auf diese Weise können auch Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet werden. Die Funktionswerte können dann negativ sein, die grundlegenden Beziehungen zwischen den Funktionen gelten aber weiterhin.

In der Analysis werden Sinus und Kosinus gewöhnlich für beliebige reelle oder komplexe Zahlen über Potenzreihen definiert; der Winkel wird dabei im Bogenmaß angegeben. Ein geometrischer Bezug ist nicht erforderlich. Wird zunächst die Exponentialfunktion durch

e^z = Σ(k=0 bis ∞) z^k/k!

definiert, erhält man

sin z = (e^(iz) − e^(−iz))/(2i)

und

cos z = (e^(iz) + e^(−iz))/2.

Für reelle x folgt die Eulersche Formel:

e^(ix) = cos(x) + i sin(x).

Die komplexen Sinus- und Kosinusfunktionen sind in der gesamten komplexen Zahlenebene analytisch und damit ganze Funktionen. Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans sind dort meromorph. Alle sechs trigonometrischen Funktionen sind in der komplexen Zahlenebene einfach periodisch.

Zusammenhänge, Vorzeichen und Ungleichungen

Die Vorzeichen hängen vom Quadranten des Einheitskreises ab. Für Sinus und Kosekans sowie für Kosinus und Sekans stimmen die Vorzeichen jeweils überein; Tangens und Kotangens haben ebenfalls dasselbe Vorzeichen:

• I. Quadrant: sin, cos, tan positiv.
• II. Quadrant: sin positiv, cos und tan negativ.
• III. Quadrant: sin und cos negativ, tan positiv.
• IV. Quadrant: sin und tan negativ, cos positiv.

Die Kehrwertbeziehungen lauten csc(x) = 1/sin(x), sec(x) = 1/cos(x) und cot(x) = 1/tan(x). Bei Umformungen mit Quadratwurzeln muss das Vorzeichen anhand des Quadranten bestimmt werden. Beispielsweise gilt

cos(x) = ±√(1 − sin²(x)),

tan(x) = ±√(sec²(x) − 1),

sec(x) = 1/cos(x)

und

csc(x) = 1/sin(x).

Für die Vorzeichenbereiche gilt insbesondere: sin(x) ≥ 0 für 0° ≤ x ≤ 180° beziehungsweise 0 ≤ x ≤ π und sin(x) ≤ 0 für 180° ≤ x ≤ 360° beziehungsweise π ≤ x ≤ 2π. Der Kosinus ist nichtnegativ in den Bereichen 0° bis 90° und 270° bis 360° und nichtpositiv zwischen 90° und 270°. Der Tangens ist nichtnegativ in den Quadranten I und III und nichtpositiv in den Quadranten II und IV; an den Stellen 90° und 270° ist er nicht definiert. Für Kotangens, Sekans und Kosekans ergeben sich die entsprechenden Vorzeichen aus ihren Kehrwertbeziehungen.

Eine wichtige Ungleichung für 0 < x₁ < x₂ < π/2 geht auf Aristarchos von Samos zurück:

sin(x₂)/sin(x₁) < x₂/x₁ < tan(x₂)/tan(x₁).

Sie folgt aus den beiden Beziehungen

sin(x₂) < (sin(x₁)/x₁) · x₂

und

(tan(x₁)/x₁) · x₂ < tan(x₂),

wenn man die erste durch sin(x₁) und die zweite durch tan(x₁) dividiert und die Ergebnisse zusammenführt.

Anwendungen und Umkehrfunktionen

Trigonometrische Funktionen werden unter anderem im Vermessungswesen und bei Berechnungen in der Dreiecksgeometrie eingesetzt. Sie sind außerdem in der Analysis sowie in zahlreichen Anwendungen der Physik und Technik wichtig. Eine enge Beziehung besteht zur Exponentialfunktion; sie wird besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in Taylorreihen sichtbar.

Oft ist die umgekehrte Aufgabe zu lösen: Aus einem bekannten Seitenverhältnis soll ein Winkel bestimmt werden. Dafür verwendet man die Arkusfunktionen beziehungsweise inversen Winkelfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot. Auf Taschenrechnern erscheinen sie häufig als sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹. Diese Schreibweise entspricht der üblichen Bezeichnung f⁻¹ für die Umkehrfunktion, kann aber mit der Schreibweise sinᵏ(x) = (sin(x))ᵏ verwechselt werden.

Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen muss bei der Berechnung außerdem geprüft werden, in welchem Quadranten der gesuchte Winkel liegt. Ein einzelnes Seitenverhältnis kann daher je nach geometrischer Situation zu unterschiedlichen möglichen Winkeln gehören.