Trigonometrie

Grundidee und Bedeutung

Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie untersucht vor allem die Beziehungen zwischen den Seitenlängen und Winkeln eines Dreiecks. Sind einige Größen bekannt, lassen sich mithilfe trigonometrischer Formeln weitere Seiten, Winkel oder andere Strecken berechnen. Die wichtigsten Hilfsmittel sind die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc).

Die ebene Trigonometrie behandelt Figuren in einer Ebene. Daneben gibt es die sphärische Trigonometrie für Dreiecke auf einer Kugel und die hyperbolische Trigonometrie. Trigonometrische Verfahren werden nicht nur bei Dreiecken, sondern auch bei Vielecken, räumlichen Figuren und in zahlreichen Naturwissenschaften eingesetzt.

Rechtwinklige Dreiecke

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt ein Innenwinkel 90°. Weil die Winkelsumme jedes ebenen Dreiecks 180° ist, ist dies der größte Winkel. Die ihm gegenüberliegende und längste Seite heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Bezogen auf einen der kleineren Winkel α unterscheidet man die Gegenkathete, die α gegenüberliegt, und die Ankathete, die an α anliegt.

Für ein Dreieck mit Gegenkathete a, Ankathete b und Hypotenuse c gelten:

• sin α = a/c = Gegenkathete/Hypotenuse • cos α = b/c = Ankathete/Hypotenuse • tan α = a/b = Gegenkathete/Ankathete • cot α = b/a = Ankathete/Gegenkathete • sec α = c/b = Hypotenuse/Ankathete • csc α = c/a = Hypotenuse/Gegenkathete

Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab. Alle rechtwinkligen Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich: Werden sämtliche Seiten beispielsweise verdoppelt, bleiben ihre Verhältnisse unverändert. Deshalb lassen sich Sinus, Kosinus und die übrigen Größen als Funktionen des Winkels auffassen.

Typische Berechnungen

Zur Berechnung einer Seite sind in einem rechtwinkligen Dreieck ABC b = 5,5 cm, α = 29° und γ = 90° gegeben. Die bekannte Seite b ist die Ankathete zu α, während die Hypotenuse c gesucht ist. Daher wird der Kosinus verwendet:

cos α = b/c c = b/cos α = 5,5 cm/cos 29° = 6,3 cm.

Die Zahlenwerte sind abgerundet.

Zur Berechnung eines Winkels seien a = 3,1 cm, b = 5,5 cm und γ = 90° gegeben. Gesucht ist β. Bezogen auf β sind a die Ankathete und b die Gegenkathete. Daher gilt:

tan β = b/a = 5,5 cm/3,1 cm = 1,8.

Um aus dem Tangenswert den Winkel zu bestimmen, verwendet man die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens (arctan), oder eine Wertetabelle. Das Ergebnis lautet β = 61,0°.

Einheitskreis und wichtige Werte

Die Definitionen am rechtwinkligen Dreieck eignen sich zunächst nur für Winkel unter 90°. Der Einheitskreis, also ein Kreis mit dem Radius 1 und dem Zentrum O, erweitert Sinus und Kosinus auf größere und negative Winkel. Zu einem Winkel gehört ein Punkt auf dem Kreis. Dessen x-Koordinate ist der Kosinus, seine y-Koordinate der Sinus des Winkels.

Daraus folgen auch die Vorzeichen: Zwischen 90° und 270° ist cos negativ; zwischen 180° und 360° ist sin negativ. Die Definition gilt ebenso für Winkel über 360° und für negative Winkel. Im Bogenmaß entspricht π einem Winkel von 180°.

Die übrigen Funktionen werden durch Sinus und Kosinus definiert:

• tan α = sin α/cos α • cot α = 1/tan α = cos α/sin α • sec α = 1/cos α • csc α = 1/sin α

Wichtige Werte sind beispielsweise sin 0 = 0, sin(π/6) = 1/2, sin(π/4) = √2/2, sin(π/3) = √3/2 und sin(π/2) = 1. Entsprechend gilt cos 0 = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2 und cos(π/2) = 0. Für den Tangens erhält man tan 0 = 0, tan(π/6) = √3/3, tan(π/4) = 1 und tan(π/3) = √3; bei π/2 ist er undefiniert. Auch sec α ist bei cos α = 0 und csc α bei sin α = 0 undefiniert.

In einer modernen mathematischen Herangehensweise werden Sinus und Kosinus über ihre Reihendarstellungen eingeführt; ihre Beziehung zum Winkel wird dann zur Definition des Winkels benutzt.

Allgemeine Dreiecke und Rechenformeln

In einem allgemeinen Dreieck gibt es nicht unbedingt einen rechten Winkel. Besonders wichtig sind hier Sinussatz und Kosinussatz. Sind die Seiten a, b und c den Winkeln α, β und γ jeweils gegenüberliegend zugeordnet, lautet der Sinussatz:

a/sin α = b/sin β = c/sin γ.

Er ist nützlich, wenn zwei Seiten und einer der ihnen gegenüberliegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind.

Der Kosinussatz lautet in seinen drei Formen:

a² = b² + c² − 2bc cos α b² = a² + c² − 2ac cos β c² = a² + b² − 2ab cos γ.

Mit ihm kann man aus drei gegebenen Seiten die Winkel bestimmen. Sind zwei Seiten und ihr Zwischenwinkel bekannt, lässt sich die gegenüberliegende Seite berechnen. Weitere Formeln für beliebige Dreiecke sind der Tangenssatz, der Halbwinkelsatz beziehungsweise Kotangenssatz und die mollweideschen Formeln.

Zu den besonders häufig gebrauchten Identitäten gehören die Komplementärformeln

sin(90° − α) = cos α, cos(90° − α) = sin α

und der trigonometrische Pythagoras

sin² α + cos² α = 1.

Die Additionstheoreme liefern Funktionswerte für Summen und Differenzen von Winkeln:

sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β, cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β.

Daraus ergeben sich unter anderem:

cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2), cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2), sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2), sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2).

Anwendungen und Entwicklung

In der Geodäsie, also der Vermessung, nutzt man die Triangulation: Von Punkten mit bekannter Position werden andere Punkte angepeilt, die Winkel gemessen und daraus die unbekannten Positionen trigonometrisch berechnet. Auf ähnliche Weise bestimmt die Astronomie Entfernungen von Planeten, Monden und nahe gelegenen Fixsternen. Trigonometrie ist außerdem für die Navigation von Flugzeugen und Schiffen sowie für die Berechnung von Stern- und Planetenpositionen in der sphärischen Astronomie wichtig. In der Physik beschreiben Sinus- und Kosinusfunktionen Schwingungen und Wellen. In der Wechselstromtechnik stellen sie den zeitlichen Verlauf elektrischer Spannung und Stromstärke dar.

Vorläufer gab es bereits in der antiken griechischen Mathematik. Aristarchos von Samos verwendete rechtwinklige Dreiecke, um Entfernungsverhältnisse zwischen Erde, Sonne und Mond zu berechnen. Hipparch und Ptolemäus arbeiteten mit Sehnentafeln, die Mittelpunktswinkel und Kreissehnen einander zuordneten. Dabei gilt für Radius r, Mittelpunktswinkel α und Sehnenlänge s:

s = 2r sin(α/2).

Ähnliche Tabellen wurden in Indien verwendet. Arabische Wissenschaftler übernahmen griechische und indische Ergebnisse und entwickelten besonders die sphärische Trigonometrie weiter. In Europa entstand die erste systematische Darstellung im 15. Jahrhundert. Während der Renaissance förderten Ballistik und Hochseeschifffahrt die Verbesserung trigonometrischer Methoden und Tabellen. Regiomontanus, auch Johann Müller genannt, stellte Lehrsätze und Methoden der ebenen und sphärischen Trigonometrie im fünfbändigen Werk „De triangulis omnimodis“ zusammen. Bartholomäus Pitiscus führte 1595 den Begriff Trigonometrie ein. Die heute gebräuchlichen Schreibweisen und die analytische Darstellung der trigonometrischen Funktionen gehen zum größten Teil auf Leonhard Euler zurück.