Winkel

Grundbegriff und Darstellung

Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei Strahlen beziehungsweise Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird. Dieser Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt, Winkelscheitel oder kurz Scheitel; die Strahlen heißen Schenkel. Zur Festlegung eines Winkels genügen drei Punkte: der Scheitel und je ein Punkt auf jedem Schenkel. Die Winkelweite beschreibt die relative Lage der Schenkel und wird durch ein Winkelmaß angegeben. Zur Abgrenzung vom Raumwinkel spricht man auch vom ebenen Winkel.

Ein Winkel kann unterschiedlich aufgefasst werden: als Paar von Strahlen oder Halbgeraden, als Winkelfeld mit Rand und Innerem oder als Drehung eines Strahls um seinen Anfangspunkt. Ein ungerichteter Winkel besitzt eine vorzeichenlose Winkelweite. Bei einem gerichteten oder orientierten Winkel wird zusätzlich eine Drehrichtung berücksichtigt. Gegen den Uhrzeigersinn gilt in der Mathematik als positive Linksdrehung, im Uhrzeigersinn als negative Rechtsdrehung. In der Geodäsie werden Winkel dagegen rechtsdrehend von 0 gon bis 400 gon gezählt.

Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben wie α oder β bezeichnet. Bei ∠ABC steht der Scheitelpunkt immer in der Mitte; gemeint ist die Drehung des Schenkels BA auf BC im mathematisch positiven Drehsinn. ∠fg bezeichnet entsprechend den von f aus in Richtung g gezählten Winkel. Das Zeichen ∠ steht allgemein für Winkel, ∡ für gerichtete Winkel und ∢ für Raumwinkel. Ein rechter Winkel kann unter anderem durch ∟ oder das Orthogonalitätszeichen ⊥ gekennzeichnet werden.

Maße und Winkelarten

Ein Vollwinkel kann in verschiedenen Einheiten ausgedrückt werden: 1 Vollwinkel = 2π rad = 360° = 400 gon = 24 Stunden. Weitere Einteilungen sind 32 nautische Strich oder 6400 Artilleriestrich. Grad können in Bogenminuten und Bogensekunden unterteilt werden. Ein Winkel lässt sich außerdem durch das Paar (cos α; sin α) darstellen, also durch die kartesischen Koordinaten des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis. Der Vollwinkel ist in Deutschland, Österreich und der Schweiz eine gesetzliche Einheit im Messwesen, besitzt aber kein Einheitenzeichen.

Nach ihrer Größe unterscheidet man:

• Nullwinkel: α = 0°.
• Spitzer Winkel: 0° < α < 90°.
• Rechter Winkel: α = 90° = π/2 rad = 100 gon.
• Stumpfer Winkel: 90° < α < 180°.
• Gestreckter Winkel: α = 180° = π rad = 200 gon.
• Überstumpfer oder erhabener Winkel: 180° < α < 360°.
• Voller Winkel: α = 360° = 2π rad = 400 gon.

Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel. Benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°, gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Schneiden sich die Geraden im rechten Winkel, heißen sie orthogonal.

Winkelbeziehungen und Geometrien

Besondere Winkelpaare erleichtern geometrische Beweise und Berechnungen. Komplementwinkel ergänzen sich zu 90°, Supplement- oder Ergänzungswinkel zu 180°. Nebenwinkel entstehen nebeneinander an zwei sich schneidenden Geraden und sind Supplementwinkel. Gegenüberliegende Scheitel- oder Gegenwinkel sind gleich groß.

Schneidet eine Gerade g zwei parallele Geraden h und h′, gelten weitere Regeln: Stufen- oder F-Winkel liegen auf derselben Seite von g und auf entsprechenden Seiten von h und h′; sie sind gleich groß. Wechsel- oder Z-Winkel liegen auf unterschiedlichen Seiten von g und auf entgegengesetzten Seiten der beiden Parallelen; auch sie sind gleich groß. Nachbar- oder E-Winkel liegen auf derselben Seite von g, aber auf unterschiedlichen Seiten von h und h′; sie ergänzen sich zu 180°. Diese Aussagen können jeweils umgekehrt zum Nachweis der Parallelität verwendet werden. Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, heißen Normalwinkel; sie sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180°.

In der zweidimensionalen euklidischen Ebene gelten die üblichen Winkelregeln. Im dreidimensionalen Raum treten außerdem Dieder-, Flächen- oder Torsionswinkel zwischen Flächen sowie Raumwinkel auf. Ein Raumwinkel beschreibt einen Anteil des dreidimensionalen Raums und wird meist in Steradiant (sr) angegeben. 1 sr schneidet aus einer Kugel mit Radius 1 m eine Fläche von 1 m² heraus. Der volle Raumwinkel beträgt Ω = 4π sr ≈ 12,56637 sr.

Auf Kugeloberflächen und im hyperbolischen Raum gelten andere Sätze für Winkel und Längen als in der euklidischen Geometrie. Für Kugeldreiecke verwendet man insbesondere den sphärischen Sinus- und Kosinussatz.

Winkel berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu α + β = 90°. Sind zwei Seiten bekannt, lassen sich die Winkel mit inversen Winkelfunktionen berechnen, beispielsweise α = arcsin(a/c) = arccos(b/c) = arctan(a/b), wobei c die Hypotenuse ist.

Im allgemeinen Dreieck gilt α + β + γ = 180°. Sind zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel bekannt, wird der Sinussatz verwendet. Aus sin α = a·sin β/b folgen zunächst α₁ = arcsin(a·sin β/b) und α₂ = 180° − α₁. Für a ≤ b ist nur α₁ geometrisch möglich; für a > b können beide Werte möglich sein. Sind alle drei Seiten gegeben, liefert der Kosinussatz beispielsweise α = arccos((b² + c² − a²)/(2bc)). Bei bekannten Eckkoordinaten berechnet man den Winkel zwischen den Vektoren b⃗ = AB und c⃗ = AC durch α = arccos((b⃗·c⃗)/(|b⃗||c⃗|)).

Für eine Gerade ax + by = c gilt für den Neigungswinkel α: tan α = a/b und damit α = arctan(a/b). Bei b = 0 ist die Gerade senkrecht und die Formel nicht definiert.

Der Schnittwinkel θ zweier Geraden ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren r⃗₁ und r⃗₂: θ = arccos((r⃗₁·r⃗₂)/(|r⃗₁||r⃗₂|)). Die Geraden sind genau dann orthogonal, wenn r⃗₁·r⃗₂ = 0. Für Ebenengeraden a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ gilt tan θ = (a₁b₂ − a₂b₁)/(a₁a₂ + b₁b₂). Ist der Nenner null, liegt ein rechter Schnittwinkel vor und die Tangensformel ist nicht definiert.

Zwischen einer Geraden mit Richtungsvektor x⃗ und einer Ebene mit Normalenvektor n⃗ gilt sin α = |n⃗·x⃗|/(|n⃗||x⃗|). Für zwei Ebenen mit Normalenvektoren n⃗ und m⃗ gilt cos α = |n⃗·m⃗|/(|n⃗||m⃗|).

Konstruktion und Teilung

Mit Zirkel und Lineal lassen sich unter anderem Winkel von 90°, 60°, 72° und 54° sowie Winkel konstruieren, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion daraus entstehen. 45° erhält man etwa durch Halbierung eines rechten Winkels, 30° durch Halbierung eines 60°-Winkels; 72°, 54° und 18° treten im regelmäßigen Fünfeck auf. Winkel mit 0° < α ≤ 180° können außerdem mithilfe des dritten Strahlensatzes und von Zahlengeraden näherungsweise in Dezimalgrad konstruiert werden.

Eine Senkrechte durch einen Punkt auf einer Geraden entsteht, indem man auf der Geraden zwei gleich weit vom Punkt entfernte Punkte bestimmt, um beide gleich große Kreisbögen schlägt und deren Schnittpunkte verbindet. Liegt der Punkt außerhalb der Geraden, fällt man entsprechend ein Lot. Dieselbe Grundidee liefert die Mittelsenkrechte und den Mittelpunkt einer Strecke: Um die beiden Endpunkte werden gleich große Kreisbögen gezeichnet; die Verbindung ihrer beiden Schnittpunkte steht senkrecht auf der Strecke und schneidet sie in ihrer Mitte.

Zur Winkelhalbierung zeichnet man einen Kreisbogen um den Scheitel, der beide Schenkel in B und C schneidet. Gleich große Kreisbögen um B und C treffen sich in D; die Halbgerade vom Scheitel durch D ist die Winkelhalbierende. Jeder ihrer Punkte hat zu beiden Schenkeln denselben Abstand.

Winkel können geometrisch addiert oder subtrahiert werden, indem man auf gleich großen Kreisbögen die zugehörigen Sehnenlängen mit dem Zirkel überträgt. So entstehen Winkelweiten α₁ + α₂ beziehungsweise α₂ − α₁. Die allgemeine Dreiteilung eines Winkels ist mit euklidischen Werkzeugen nicht möglich; es gibt jedoch Zeichengeräte und Näherungskonstruktionen. Für eine beliebige Teilung benötigt man ein zusätzliches Hilfsmittel wie eine Schablone mit archimedischer Spirale oder Quadratrix des Hippias.

Durch Konstruktion, Addition, Subtraktion und wiederholte Halbierung erhält man zahlreiche weitere Winkel. Beispielsweise ergibt sich 3° aus 72°/2 = 36°, 36°/2 = 18° und 18° − 15° = 3°. Allgemein sind Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn ihr Sinus beziehungsweise Kosinus durch ganze Zahlen, Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar ist. Die Halbierung wird algebraisch durch sin(α/2) = √((1 − cos α)/2) und cos(α/2) = √((1 + cos α)/2) beschrieben; Addition und Subtraktion durch die Additionstheoreme.

Messung und Winkel am Kreis

Bei der Winkelmessung wird mit technischen Einrichtungen bestimmt, in welchem Winkel zwei Geraden oder andere Richtungen zueinander stehen.

Am Kreis sind besonders der Umfangswinkel, der Mittelpunktswinkel und der Sehnentangentenwinkel wichtig. Ihre Beziehungen werden durch den Kreiswinkelsatz, den Umfangswinkelsatz und den Sehnentangentenwinkelsatz beschrieben.