Tangens und Kotangens

Grundidee und Definitionen

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen. Man schreibt tan x beziehungsweise cot x. Sie beschreiben Winkel über Seitenverhältnisse und sind unter anderem für Geometrie, Funktionsgraphen und Anwendungen wichtig.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel α:

• tan α = Gegenkathete / Ankathete = a / b
• cot α = Ankathete / Gegenkathete = b / a

Damit sind beide Funktionen Kehrwerte: cot α = 1 / tan α und tan α = 1 / cot α. Für die beiden spitzen Winkel α und β eines rechtwinkligen Dreiecks gilt außerdem tan α = cot β = cot(90° − α).

Mit Sinus und Kosinus lauten die grundlegenden Formeln tan α = sin α / cos α und cot α = cos α / sin α. Am Einheitskreis können Tangens und Kotangens geometrisch als Längen von Tangentenabschnitten aufgefasst werden: tan b ist die Länge [DT], cot b die Länge [EK].

Definitionsbereich und grundlegende Eigenschaften

Formal ist tan x = sin x / cos x. Daher ist der Tangens im Reellen nicht definiert für x = kπ + π/2 mit k ∈ ℤ. Der Definitionsbereich ist D_tan = ℝ \ {kπ + π/2 | k ∈ ℤ}. Für cot x = cos x / sin x fehlen entsprechend die Werte x = kπ; also D_cot = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Im komplexen Fall gelten dieselben ausgeschlossenen Werte mit ℂ statt ℝ. Im gemeinsamen Definitionsbereich gilt cot x = 1 / tan x.

Beide Funktionen haben die Periode π, zum Beispiel tan(x + π) = tan x. Sie sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung: tan(−x) = −tan x und cot(−x) = −cot x. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen ist tan streng monoton steigend, cot streng monoton fallend.

Die Nullstellen des Tangens liegen bei x = nπ, die des Kotangens bei x = (1/2 + n)π, jeweils n ∈ ℤ. Genau umgekehrt liegen dort die Polstellen, also Stellen, an denen die Funktionswerte unbegrenzt werden. Wendestellen liegen beim Tangens bei x = nπ und beim Kotangens bei x = (1/2 + n)π. Beide Funktionen haben Asymptoten, aber weder Sprungstellen noch Extrema.

Wichtige Werte sind tan 0° = 0, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1 und tan 60° = √3. Entsprechend gilt cot 90° = 0, cot 60° = 1/√3, cot 45° = 1 und cot 30° = √3. Für α gegen 90° von unten wächst tan α gegen +∞; cot α wächst für α gegen 0° von oben gegen +∞.

Ableitungen, Stammfunktionen und Umkehrungen

Tangens und Kotangens sind auf ihren Definitionsintervallen beliebig oft differenzierbar. Die ersten Ableitungen sind

tan′ x = 1 / cos²x = sec²x,

cot′ x = −1 / sin²x = −csc²x.

Dabei sind sec und csc Sekans beziehungsweise Kosekans. Die zweiten Ableitungen lauten tan″ x = 2 sec²x tan x und cot″ x = 2 csc²x cot x. Stammfunktionen sind

∫ tan x dx = −ln|cos x| + C für x ≠ (2k + 1)π/2,

∫ cot x dx = ln|sin x| + C für x ≠ kπ.

Damit Umkehrfunktionen eindeutig sind, beschränkt man die Definitionsbereiche. Es gilt tan : (−π/2, π/2) → ℝ; die Umkehrfunktion ist arctan : ℝ → (−π/2, π/2). Ebenso gilt cot : (0, π) → ℝ; die Umkehrfunktion ist arccot : ℝ → (0, π). Beide Zuordnungen sind bijektiv, also eindeutig in beide Richtungen.

Die Grenzwerte liefern die waagerechten Endwerte der Umkehrfunktionen: arctan y → π/2 für y → +∞ und → −π/2 für y → −∞; arccot y → 0 beziehungsweise π. Nach Erweiterung um diese Randpunkte lassen sich die eingeschränkten Funktionen stetig und umkehrbar auf die erweiterten reellen Zahlen ℝ ∪ {+∞, −∞} fortsetzen.

Reihen, komplexe Darstellung und Gleichungen

Für |x| < π/2 besitzt der Tangens die Maclaurinsche Reihe

tan x = x + 1/3 x³ + 2/15 x⁵ + 17/315 x⁷ + 62/2835 x⁹ + 1382/155925 x¹¹ + … .

Daraus folgt für 0 < x < π/2: tan x > x, und tan x / x ist streng monoton steigend mit Grenzwert 1 für x → 0. Außerdem ist für x > 2/π die Funktion x tan(1/x) streng monoton fallend und hat für x → ∞ den Grenzwert 1.

Für 0 < |x| < π lautet die Laurent-Reihe des Kotangens

cot x = 1/x − 1/3 x − 1/45 x³ − 2/945 x⁵ − 1/4725 x⁷ − … .

Über die Exponentialfunktion gilt e^(ix) = cos x + i sin x und daraus

tan x = −i (e^(ix) − e^(−ix)) / (e^(ix) + e^(−ix)),

cot x = i (e^(ix) + e^(−ix)) / (e^(ix) − e^(−ix)).

Diese Formeln ermöglichen auch komplexe Argumente. Für x, y ∈ ℝ ist

tan(x + iy) = sin(2x) / (cos(2x) + cosh(2y)) + i · sinh(2y) / (cos(2x) + cosh(2y)).

Der Tangens löst die Riccati-Gleichung w′ = 1 + w². Als komplexe Funktion nimmt er die Werte i und −i nicht an; diese sind nämlich selbst konstante Lösungen der Differentialgleichung.

Umformungen und Winkelbeziehungen

Die Additionstheoreme lauten

tan(x ± y) = (tan x ± tan y) / (1 ∓ tan x tan y),

cot(x ± y) = (cot x cot y ∓ 1) / (cot y ± cot x).

Für den doppelten Winkel folgt daraus

tan(2x) = 2 tan x / (1 − tan²x),

cot(2x) = (cot²x − 1) / (2 cot x).

Im ersten Quadranten kann man Sinus und Kosinus aus Kotangens beziehungsweise Tangens zurückgewinnen:

sin x = 1 / √(1 + cot²x) für 0 < x ≤ π/2,

cos x = 1 / √(1 + tan²x) für 0 ≤ x < π/2.

Mit t = tan(α/2) erhält man die rationale Parametrisierung

sin α = 2t / (1 + t²), cos α = (1 − t²) / (1 + t²), tan α = 2t / (1 − t²).

Die Zuordnung t ↦ ((1 − t²)/(1 + t²), 2t/(1 + t²)) parametrisiert den Einheitskreis mit Ausnahme von (−1, 0), das dem Parameter t = ∞ entspricht.

Anwendungen bei Steigung und Bewegung

Bei einer linearen Funktion f(x) = mx + c ist die Steigung m der Tangens des orientierten Winkels α zwischen positiver x-Achse und Geraden: m = tan α. Auch die Steigung einer Straße wird so verstanden: 10 % Steigung entsprechen tan α = 0,1 und einem Steigungswinkel von etwa 5,7°.

Beim senkrechten Wurf nach oben mit turbulentem Luftwiderstand gilt für die Geschwindigkeit die Differentialgleichung v̇ = −g − kv² mit k > 0. Eine Lösung ist

v(t) = v_g · cot(√(gk)t + c),

wobei v_g = √(g/k) die beim Fall erreichte Grenzgeschwindigkeit und c = arccot(v(0)/v_g) > 0 ist. Gleichwertig lässt sich schreiben

v(t) = −v_g · tan(√(gk)t − c′),

mit c′ = arctan(v(0)/v_g) > 0. Diese Lösung gilt bis zum höchsten Punkt der Bahn, also bis v = 0, bei t = (π/2 − c)/√(gk) = c′/√(gk). Für den anschließenden Fall mit Luftwiderstand wird Tangens hyperbolicus verwendet.