Rechtwinkliges Dreieck

Grundbegriffe und Seiten

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel von 90°. Es ist grundlegend für den Satz des Pythagoras sowie für Sinus, Kosinus und weitere trigonometrische Funktionen.

Die längste Seite heißt Hypotenuse c; sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten a und b und schließen den rechten Winkel ein. Bezogen auf einen der spitzen Winkel ist die anliegende Kathete die Ankathete, die gegenüberliegende die Gegenkathete. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zum rechten Winkel: α + β = γ = 90°.

Bestimmung, Konstruktion und wichtige Formeln

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch den rechten Winkel, eine Seite und außerdem eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel vollständig bestimmt. Die Höhen auf die Katheten sind jeweils die andere Kathete: hₐ = b und h_b = a.

Bei zwei gegebenen Katheten verwendet man den SWS-Fall und ordnet die Katheten senkrecht an. Bei Hypotenuse und einer Kathete halbiert man die Hypotenuse und zeichnet den Thaleskreis über ihrem Mittelpunkt; der Schnitt mit einem Kreis um einen Endpunkt mit dem Kathetenradius liefert den dritten Eckpunkt. Sind eine Seite und ein nicht-rechter Winkel gegeben, wird zunächst der dritte Winkel mit der Winkelsumme bestimmt und anschließend der WSW- oder SWW-Fall verwendet. Im SSS-Fall ist das Dreieck rechtwinklig, wenn seine Seiten etwa im Verhältnis eines pythagoreischen Tripels wie (3,4,5) stehen.

Für Umfang U, Halbumfang s und Flächeninhalt A gilt: U = a + b + c, s = U/2 und A = a·b/2. Aus dem Satz des Pythagoras folgt c = √(a² + b²), a = √(c² − b²) und b = √(c² − a²). Die Höhe auf die Hypotenuse ist h_c = a·b/c; außerdem gilt 1/h_c² = 1/a² + 1/b².

Die trigonometrischen Beziehungen lauten beispielsweise a = c·sin(α) = c·cos(β), b = c·cos(α) = c·sin(β) und h_c = b·sin(α) = a·cos(α). Damit erhält man etwa α = arcsin(a/c) = arccos(b/c) = arctan(a/b). Der Umkreisradius beträgt r = c/2. Für den Inkreisradius ρ gilt ρ = ab/(a+b+c) = (a+b−c)/2 = s−c.

Pythagoras, Thales und Seitenbeziehungen

Der Satz des Pythagoras, auch Hypotenusensatz genannt, beschreibt die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: a² + b² = c². Inhaltlich besagt er: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. Er ist ein Spezialfall des Kosinussatzes, weil cos(90°) = 0.

Die Höhe h = h_c auf die Hypotenuse teilt diese in die Abschnitte p und q. Dadurch entstehen zwei weitere rechtwinklige Teildreiecke. Es gelten der Kathetensatz a² = c·p und b² = c·q, der Höhensatz h² = p·q sowie c = p + q. Mit diesen Beziehungen lassen sich bei Kenntnis zweier der Größen a, b, c, p, q und h die übrigen vier berechnen.

Der Satz des Thales besagt: Jedes Dreieck, dessen dritte Ecke auf einem Halbkreisbogen über einer Strecke liegt, ist rechtwinklig. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist zugleich Mittelpunkt des Thaleskreises, also des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks. Trigonometrische Funktionen beschreiben dabei die rechnerischen Zusammenhänge zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen.

Weitere geometrische Sätze

Der Satz von Eddy wurde 1991 formuliert, ist nach dem Artikel aber „sicher schon sehr viel älter“. Die Winkelhalbierende des rechten Winkels teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente, also deckungsgleiche Flächen. Im beschriebenen Beweis verläuft die Winkelhalbierende durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrats; daraus folgen kongruente Dreiecke und gleich große Teilvierecke.

Weitere Beziehungen betreffen besonders Inkreis, Höhe und Seitenmittelpunkte. Schneiden Kreise um die beiden Endpunkte der Hypotenuse mit den jeweiligen Kathetenradien die Hypotenuse in D und E, so hat DE dieselbe Länge wie der Durchmesser des Inkreises, also 2r. Dies folgt aus (x+r)+(y+r)−(x+y) = 2r.

Teilt die Höhe CD das Dreieck in die rechtwinkligen Dreiecke ADC und DBC, dann ist die Summe ihrer Inkreisradien r₁ und r₂ zusammen mit dem Inkreisradius r des Ausgangsdreiecks gleich der Höhe: r + r₁ + r₂ = CD. Außerdem halbiert die Winkelhalbierende des rechten Winkels auch den Winkel zwischen Höhe und Seitenhalbierender auf der Hypotenuse. Verbindet man die Mittelpunkte der Katheten mit dem Höhenfußpunkt, entsteht dort ein rechter Innenwinkel; ein daraus betrachtetes Drachenviereck ist zugleich ein Sehnenviereck.

Der Inkreisradius kann daher sowohl als r = ab/(a+b+c) als auch als r = (a+b−c)/2 geschrieben werden.

Ausgezeichnete Punkte und Ungleichungen

Von den klassischen ausgezeichneten Punkten liegt der Höhenschnittpunkt H im Scheitel C des rechten Winkels. Der Umkreismittelpunkt U liegt in der Mitte der Hypotenuse c; Schwerpunkt S und Inkreismittelpunkt I liegen im Inneren. Der Mittelpunkt F des Feuerbachkreises ist der Mittelpunkt der Strecke HU. U, S, F und H liegen auf der Eulerschen Geraden. Auf dem Feuerbachkreis liegen neun ausgezeichnete Punkte; wegen der besonderen Lage von H sind in der dargestellten Situation nur fünf sichtbar, nämlich drei Seitenmittelpunkte und zwei Höhenfußpunkte.

Für die positiven Katheten gilt aus (a−b)² ≥ 0: c ≥ (a+b)/√2 ≥ √(2ab). Die rechte Ungleichung ist ein Spezialfall der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel; die linke wird als Dreiecksungleichung für rechtwinklige Dreiecke bezeichnet. Für die Höhe gilt zunächst h_c ≤ (a+b)/(2√2) und genauer h_c ≤ √(ab)/√2 ≤ (a+b)/(2√2).

Gleichheit in allen diesen Ungleichungen gilt genau dann, wenn a = b. Dann ist das Dreieck rechtwinklig-gleichschenklig und hat die Innenwinkel 45°, 45° und 90°.

Sonderfall zum Goldenen Schnitt

Seien die Kathetenlängen und die Hypotenusenlänge in dieser Reihenfolge die ersten drei Glieder einer geometrischen Folge: a = 1, b = q und c = q² mit q ∈ ℝ⁺. Aus dem Satz des Pythagoras folgt 1 + q² = q⁴ beziehungsweise q⁴ − q² − 1 = 0. Da Streckenlängen positiv sind, erhält man b = √Φ und c = Φ.

Dabei ist b das geometrische Mittel von a und c. Für den längeren und kürzeren Hypotenusenabschnitt gilt c₁ = 1 und c₂ = Φ − 1, für die Höhe auf c gilt h = 1/√Φ. Die Dreiecke CAH, BCH und ABC sind paarweise ähnlich.