Sekans und Kosekans

Grundidee und Definition

Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit \sec(x) bezeichnet, der Kosekans mit \csc(x) oder \operatorname{cosec}(x). Im Einheitskreis entsprechen ihre Funktionswerte bestimmten Längen von Sekantenabschnitten: \overline{OT}=\sec(b) und \overline{OK}=\csc(b).

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete. Damit ist er die Kehrwert-Funktion der Kosinusfunktion: \sec(\alpha)=\frac{l_{\text{Hy}}}{l_{\text{AK}}}=\frac{c}{b} und \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete. Damit ist er die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion: \csc(\alpha)=\frac{l_{\text{Hy}}}{l_{\text{GK}}}=\frac{c}{a} und \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}. Diese Kehrwert-Beziehung ist die wichtigste Regel zum Verstehen beider Funktionen.

Definitionsbereich, Wertebereich und Verlauf

Der Definitionsbereich enthält alle reellen Zahlen, bei denen der jeweilige Nenner nicht null wird. Für den Sekans gilt: -\infty<x<+\infty, aber x\neq \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi mit n\in\mathbb{Z}. Für den Kosekans gilt: -\infty<x<+\infty, aber x\neq n\pi mit n\in\mathbb{Z}.

Der Wertebereich beider Funktionen ist -\infty<f(x)\leq -1 oder 1\leq f(x)<+\infty. Werte zwischen -1 und 1 kommen also nicht vor. Beide Funktionen haben keine Nullstellen.

Sekans und Kosekans sind periodisch mit der Periodenlänge 2\pi: f(x+2\pi)=f(x). Beim Sekans liegt Achsensymmetrie vor, also f(x)=f(-x). Beim Kosekans liegt Punktsymmetrie vor, also f(-x)=-f(x).

Die Polstellen, also Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist und der Graph senkrecht unbegrenzt verläuft, liegen beim Sekans bei x=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi und beim Kosekans bei x=n\pi, jeweils mit n\in\mathbb{Z}. Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten, aber Sprungstellen, und beide haben keine Wendepunkte.

Extremstellen und wichtige Werte

Beim Sekans liegen Minima bei x=2n\pi und Maxima bei x=(2n-1)\pi, jeweils mit n\in\mathbb{Z}. Beim Kosekans liegen Minima bei x=\left(2n+\frac{1}{2}\right)\pi und Maxima bei x=\left(2n-\frac{1}{2}\right)\pi, ebenfalls mit n\in\mathbb{Z}.

Wegen der Periode 2\pi, also 360^\circ, genügt es, wichtige Werte in einem Grundbereich zu kennen. Für den Sekans ist das 0\leq x\leq 2\pi, aber ohne \frac{\pi}{2} und \frac{3\pi}{2}. Für den Kosekans ist das 0\leq x\leq 2\pi, aber ohne 0, \pi und 2\pi. Allgemein gilt \sec(x)=\sec(x+2k\pi) und \csc(x)=\csc(x+2k\pi), im Gradmaß entsprechend \sec(x)=\sec(x+k\cdot360^\circ) und \csc(x)=\csc(x+k\cdot360^\circ) mit k\in\mathbb{Z}.

Zu den wichtigen Werten gehören: \sec(0^\circ)=1, \csc(0^\circ) ist nicht definiert; \sec(30^\circ)=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}, \csc(30^\circ)=2; \sec(45^\circ)=\csc(45^\circ)=\sqrt{2}; \sec(60^\circ)=2, \csc(60^\circ)=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}; \sec(90^\circ) ist nicht definiert, \csc(90^\circ)=1. Außerdem gilt \sec(180^\circ)=-1, \csc(270^\circ)=-1 und \sec(360^\circ)=1.

Darstellbare Werte und Umkehrfunktionen

Weitere Funktionswerte lassen sich mit Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für die entsprechenden Sinus- und Kosinuswerte möglich ist. Denn der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus.

Allgemein gilt: \csc\alpha und \sec\alpha sind genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar, wenn der Winkel \alpha mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Das gilt insbesondere für Winkel der Gestalt \alpha=k\frac{360^\circ}{2^n p_1\dots p_r}, wobei k\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}_0 und die p_i Fermatsche Primzahlen sind.

Da Sekans und Kosekans periodisch sind und nicht auf ihrem ganzen Definitionsbereich eindeutig umkehrbar sind, betrachtet man für Umkehrfunktionen nur geeignete Teilintervalle. Der Sekans ist auf einer halben Periodenlänge, zum Beispiel x\in[0,\pi], umkehrbar; die Umkehrfunktion heißt Arkussekans und wird durch x=\operatorname{arcsec}(y) beschrieben. Der Kosekans ist auf einer halben Periodenlänge, zum Beispiel x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], umkehrbar; die Umkehrfunktion heißt Arkuskosekans und wird durch x=\operatorname{arccsc}(y) beschrieben.

Analysis und Reihen

Die Ableitung des Sekans folgt aus \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}: \frac{d}{dx}\sec(x)=\frac{+\sin(x)}{\cos^2(x)}=+\sec(x)\tan(x)=+\frac{\sec^2(x)}{\csc(x)}. Die Ableitung des Kosekans folgt aus \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}: \frac{d}{dx}\csc(x)=\frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)}=-\csc(x)\cot(x)=-\frac{\csc^2(x)}{\sec(x)}.

Für die Integrale gibt der Artikel mehrere äquivalente Formen an. Für den Sekans gilt \int\sec(x)\,dx=\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right|+C=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+C=\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+sin x}{1-\sin x}\right)+C. Für den Kosekans gilt \int\csc(x)\,dx=\ln\left|\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|+C=\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C.

Die Maclaurin-Reihe des Sekans lautet \sec(z)=1+\frac{1}{2}z^2+\frac{5}{24}z^4+\frac{61}{720}z^6+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}z^{2n} und hat den Konvergenzradius \frac{\pi}{2}. Die Laurent-Reihe des Kosekans für 0<|z|<\pi lautet \csc(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{6}z+\frac{7}{360}z^3+\frac{31}{15120}z^5+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}. Dabei stehen E_{2n} für eulersche Zahlen und B_{2n} für Bernoulli-Zahlen.

Komplexe Argumente und historische Bedeutung

Für komplexe Argumente der Form x+i\cdot y mit x,y\in\mathbb{R} werden Sekans und Kosekans mit trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen dargestellt. Es gilt \sec(x+i\cdot y)=\frac{2\cos(x)\cosh(y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}+i\frac{2\sin(x)\sinh(y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}. Außerdem gilt \csc(x+i\cdot y)=\frac{-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}+i\frac{2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}.

Historisch waren Sekans und Kosekans für numerische Berechnungen praktisch. Vor elektronischen Rechenmaschinen nutzte man Tabellen für Winkelfunktionen, oft in gedruckten Büchern. Mit einem Tabellenwert zu multiplizieren war bequemer, als durch einen Wert zu dividieren. Wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner stand, konnte man stattdessen den entsprechenden Kosekans- oder Sekanswert in den Zähler schreiben.

Im Zeitalter allgemein verfügbarer elektronischer Taschenrechner ist dieses Argument nur noch historisch wichtig. Der Artikel nennt Sekans und Kosekans für diesen Zweck überflüssig; in neueren Formelsammlungen werden sie nicht mehr erwähnt und auf Rechnern nicht als eigene Tasten implementiert.