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Sinus und Kosinus
Sinus- und Kosinusfunktion (andere Schreibweise: Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und Kotangens sowie Sekans und …
Inhalt6 Abschnitte
Grundidee und geometrische Definition
Sinus und Kosinus sind elementare trigonometrische Funktionen. Sie dienen zur Berechnung von Dreiecken und beschreiben außerdem periodische Vorgänge wie Wellen und harmonische Schwingungen. Beide Funktionen nehmen für reelle Winkel nur Werte von −1 bis 1 an und haben die kleinste positive Periode 2π beziehungsweise 360°.
Im rechtwinkligen Dreieck mit Winkel α gilt:
- sin α = Gegenkathete / Hypotenuse
- cos α = Ankathete / Hypotenuse
Sind α und β die beiden spitzen Winkel, dann ist α + β = 90°. Daher gilt cos α = sin(90° − α) und sin α = cos(90° − α). Aus dem Satz des Pythagoras folgt der trigonometrische Pythagoras:
sin² α + cos² α = 1.
Am Einheitskreis x² + y² = 1 ist für einen Punkt P(x,y), dessen Ortsvektor mit der positiven x-Achse den Winkel α einschließt, cos α = x und sin α = y. Damit sind Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definiert. Außerdem ist tan α = sin α / cos α, sofern cos α nicht 0 ist.
Symmetrie, Periode und Verlauf
Sinus ist ungerade und Kosinus ist gerade:
- sin(−α) = −sin α
- cos(−α) = cos α
Beide Funktionen sind periodisch:
- sin(α + k·360°) = sin α
- cos(α + k·360°) = cos α
für jede ganze Zahl k. Im Bogenmaß entspricht 360° dem Wert 2π. Sinus und Kosinus sind um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben: sin α = cos(α − 90°) beziehungsweise sin α = cos(α − π/2).
Der Sinus startet bei 0, steigt von 0 bis π/2 auf sein Maximum 1, fällt bei π wieder auf 0, erreicht bei 3π/2 sein Minimum −1 und kehrt bei 2π zu 0 zurück. Der Kosinus startet bei 1, hat bei π/2 eine Nullstelle, bei π sein Minimum −1, bei 3π/2 wieder eine Nullstelle und bei 2π erneut den Wert 1. Nullstellen sind bei beiden Funktionen zugleich Wendepunkte.
Für komplexe Argumente z = x + i·y gelten andere Eigenschaften: Sinus und Kosinus sind nicht auf [−1,1] beschränkt und können beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen. Es gilt beispielsweise cos i = cosh 1 = (e¹ + e⁻¹)/2 ≈ 1,54. Die Formeln lauten:
sin z = sin x·cosh y + i cos x·sinh y, cos z = cos x·cosh y − i sin x·sinh y.
Wichtige Werte und Rechenregeln
Wichtige Funktionswerte im ersten Quadranten sind:
- 0° = 0: sin 0 = 0, cos 0 = 1
- 30° = π/6: sin = 1/2, cos = √3/2
- 45° = π/4: sin = cos = √2/2
- 60° = π/3: sin = √3/2, cos = 1/2
- 90° = π/2: sin = 1, cos = 0
Werte in den anderen Quadranten ergeben sich mithilfe von Symmetrie und Periodizität; zum Beispiel sind sin π = 0, cos π = −1, sin(3π/2) = −1 und cos(2π) = 1. Die Werte bei 45°, 30° und 60° folgen aus gleichschenkligen beziehungsweise gleichseitigen Dreiecken und dem Satz des Pythagoras.
Die Additionstheoreme erlauben die Berechnung von Summen und Differenzen von Winkeln:
sin(x ± y) = sin x·cos y ± cos x·sin y, cos(x ± y) = cos x·cos y ∓ sin x·sin y.
Daraus folgen die Formeln für doppelte Winkel:
sin(2x) = 2 sin x·cos x, cos(2x) = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x = 2 cos²x − 1.
Für Vektoren verbindet der Kosinus das Skalarprodukt mit dem eingeschlossenen Winkel: a⃗·b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos ∠(a⃗,b⃗). Beim Kreuzprodukt dreidimensionaler Vektoren gilt |a⃗×b⃗| = |a⃗|·|b⃗|·sin ∠(a⃗,b⃗).
Analysis und analytische Darstellung
Im Bogenmaß gelten die zentralen Ableitungsregeln:
sin′ x = cos x, cos′ x = −sin x.
Die Ableitungen wiederholen sich nach vier Schritten. Beide Funktionen lösen die Differentialgleichung y″ = −y. Ihre Stammfunktionen sind:
∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.
Die Potenzreihen definieren Sinus und Kosinus auch analytisch und für komplexe Zahlen:
sin x = Σ(n=0 bis ∞) (−1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)! = x/1! − x³/3! + x⁵/5! ∓ …, cos x = Σ(n=0 bis ∞) (−1)ⁿ x^(2n)/(2n)! = x⁰/0! − x²/2! + x⁴/4! ∓ ….
Diese Reihen konvergieren für jede komplexe Zahl absolut. Für numerische Berechnungen kann man wegen Symmetrie und Periodizität zunächst auf den Bereich [−π/4, π/4] reduzieren. Dort hat etwa das Taylorpolynom des Kosinus bis zur vierten Potenz einen relativen Fehler von unter 0,05 %; Taylor-Teilsummen sind jedoch nicht immer die bestmöglichen Näherungen.
Die Eulerformel verbindet die Funktionen mit der Exponentialfunktion:
e^(ix) = cos x + i·sin x.
Daraus folgen sin x = (e^(ix) − e^(−ix))/(2i) und cos x = (e^(ix) + e^(−ix))/2. Eine weitere mögliche analytische Festlegung verwendet die Additionstheoreme zusammen mit Zusatzbedingungen wie sin x ungerade, cos x gerade, lim(x→0) sin x/x = 1 und cos 0 = 1.
Umkehrfunktionen und Berechnung
Da Sinus und Kosinus auf ihrem gesamten Definitionsbereich nicht eindeutig sind, werden für die Umkehrung monotone Teilintervalle gewählt. Es gelten:
arcsin: [−1,1] → [−π/2, π/2], arccos: [−1,1] → [0, π].
Auf diesen Bereichen sind sin beziehungsweise cos streng monoton und surjektiv, also invertierbar. Im Gradmaß entsprechen die Zielbereiche von arcsin [−90°,90°] und von arccos [0°,180°].
Zur praktischen Berechnung gibt es Tabellen, Interpolation, den CORDIC-Algorithmus, Taylorreihen und die Zwölftel-Regel als schnelle grobe Näherung. Die Wahl hängt von Genauigkeit, Geschwindigkeit und Hardware ab. Bei Echtzeitsystemen mit geringer Winkelauflösung kann eine vollständige Wertetabelle sinnvoll sein. CORDIC ist in der Regel effizienter umsetzbar und besser konditioniert als die Taylorreihe.
Die Gleichung sin x = x hat genau die reelle Lösung x = 0. Die Gleichung cos x = x hat genau die reelle Lösung x = 0,73908513321516…; die Iteration xₙ₊₁ = cos xₙ konvergiert für jeden Startwert x₀ gegen diese Lösung.
Anwendungen in Mathematik, Technik und Naturwissenschaft
Auch in allgemeinen, nicht rechtwinkligen Dreiecken lassen sich mit Sinus Höhen berechnen. Bei a = 5,4 und β = 42° gilt für die Höhe h_c:
h_c/a = sin β, h_c = 5,4·sin 42° ≈ 3,613.
Weitere wichtige Anwendungen sind Sinussatz und Kosinussatz.
Sinus- und Kosinusfunktionen bilden in L²[−π,π] zusammen mit der konstanten Funktion 1 ein vollständiges Orthogonalsystem. Deshalb können quadratisch integrierbare Funktionen als Fourierreihe dargestellt werden:
Sₙ(x) = a₀/2 + Σ(k=1 bis n) (a_k cos(kx) + b_k sin(kx)).
In der Physik beschreibt eine harmonische Schwingung mit Rückstellkraft die Form x(t) = A sin(ω(t − t₀)), wenn d²x/dt² = −ω²x gilt. Durch Fourierreihen lassen sich beliebige periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen.
In der Informatik werden diskrete Kosinustransformationen für Audio-, Bild- und Videodateien verwendet, etwa bei MP3, JPEG, MP4 oder WebM; für Wiedergabe und Anzeige dient die inverse Transformation. Die schnelle Fourier-Transformation wird bei der digitalen Verarbeitung akustischer und optischer Signale eingesetzt.
In der Elektrotechnik sind Stromstärke I und Spannung U häufig sinusförmig. Bei Phasenverschiebungswinkel φ gilt S = U·I für die Scheinleistung und P = U·I·cos φ für die Wirkleistung. Bei nicht sinusförmigen Größen entstehen Oberschwingungen; dann ist λ = |P|/S zwar ein Leistungsfaktor, darf aber nicht mit cos(φ) gleichgesetzt werden.
