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Extremstellen Sinus – Extrema Sinusfunktion, trigonometrische Funktionen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 122 Zeilen
- hallo ihr lieben in diesem video möchte ich euch schritt für schritt zeigen wie man die extrem stellen einer sinus funktion berechnen kann und falls ihr
- jetzt aber eine cosinus funktion vorliegen haben solltet könnt ihr trotzdem genauso vorgehen ich zeige das ganze jetzt einfach mal an diesem
- beispiel hier und wir werden die ableitung dazu benutzen um die extrem stellen zu finden bevor er zur rechnung kommen schauen wir uns das ganz kurz man
- auch anschaulich an was wir überhaupt vorhaben ich habe die funktion jetzt mal zeichnen lassen und da sehen wir auch ganz schön bei so einer periodischen
- funktion gibt es ja nicht nur einen hochpunkt sondern der wiederholt sich ja immer wieder und damit gibt es unendlich viele hochpunkte und mit den tiefpunkten
- ist es genauso es gibt zwar einen ersten tiefpunkt sozusagen aber der wiederholt sich dann auch immer wieder und unser vorgehen wird jetzt folgendes sein wir
- berechnen als erstes nur den ersten hochpunkt und den ersten tiefpunkt und dann am schluss berechnen wir damit alle hoch und tiefpunkte und dieses vorgehen
- habe ich jetzt nochmal in der übersicht zusammengefasst wie ihr vorgehen könnt wenn ihr die extrem stellen einer sinus cosinus funktion berechnen wollte erster
- punkt die ersten beiden ableitungen willen dann gehen wir doch jetzt mal daran wir schnappen uns unsere funktion und leiten die einmal ab was hätten wir
- da das ixs wonach der ableiten ist nur hier an dieser einen stelle hier im sinus drin hier vorne die drei halbe ist mit einem mal verbunden also bleibt die
- drei halbe beim ableiten da weil es eben ein faktor ist anders sieht es mit der +1 da hinten aus die wird gleich wegfallen weil das eben nur eine
- konstante im moment ist er dazu kommt der feldmann ableiten weg aber solche faktoren die mit einem mal verbunden sind bleiben dann kommen wir jetzt zum
- herzstück der sinus funktion hier drin und die müssen wir mit der kette regel ableiten wir haben nämlich eine äußere funktion
- es ist der sinus hier außen und wir haben etwas was in sinus stets das ist das ganze teil hier das wäre die innere funktion und die ketten regel sagt er
- jetzt wir können das ganze jahr ableiten indem wir die äußere funktion einmal ableiten und dann mit der inneren ableitung multiplizieren also leiten wir
- jetzt erstmal nur das äußere ab das wäre nur der sinus was ist die ableitung des sinus das ist der casinos das schreibe ich jetzt mal rot weil das wirklich nur
- das äußere die äußere ableitung wird der cosinus ist die ableitung des sinus und alles was drin steht die innere funktion die fast ihr gar nicht an die wird
- einfach so hin geschrieben weil die betrachten will gleich einzeln also das war die äußere ableitung in dem wir den sinus einmal ableiten und zum cosinus
- machen jetzt kümmern wir uns um das innere das müssen wir jetzt nämlich auch noch einmal ableiten ihr könnt es so ableiten wie das hier steht oder
- vielleicht lösen wir auch erst mal auf einem spielplatz die klammer auf also dass wir petric l x iks rechnen dass werden petric und petric l x - einst das
- wären - petric da sieht man nämlich dann auch ganz schön wenn wir das jetzt ableiten wollen dass das ich sehr einfach weg fällt beim ableiten und
- trüffel stehen bleibt und da hinten ist er gar kein extrem das ist dann auch wieder eine konstante die wegfällt komplett beim ableiten also unsere
- ableitung hier jetzt wäre einfach nur die petra und ja dann haben wir die ketten regel schon fertig hinten wie gesagt dieses
- plus eins fällt komplett weg jetzt können wir das ganze noch ein bisschen vereinfachen wir stehen ja überall mal zeichen dazwischen das heißt wir können
- alles miteinander multiplizieren also auch kürzen hier die drei können wir mit der drei hier unten kürzen dann hätten wir die halbe wenn wir das zusammen
- fassen und dann kommt dieser cosinus ausdruck bei dem wir jetzt nichts verändern können der muss einfach so bleiben dann hätten wir unsere erste
- ableitung schon geschafft und wir leiten das jetzt noch mal ab um die zweite ableitung zu bilden da steht unser ergebnis von unserer ersten ableitung
- wir sind jetzt schon ein bisschen geschult und kriegen das ein bisschen schneller ein die halbe bleibt ableiten vorhanden weil es ein faktor ist in dem
- mal dann hier wieder ketten regel diesmal ist es aber der cosinus der außen steht und das praktisch ist dass ich ihnen gar nichts verändert hat also
- die innere ableitung ist immer noch nie von eben aber der cosinus der musik geleitet werden und die ableitung des cosinus ist - sinus also das muss man ja
- auch einfach auswendig lernen cosinus abgeleitet ist - sinus und innen ändert ihr auch wieder gar nichts weil wir haben ja nur die äußere funktion
- abgeleitet das wäre jetzt die ableitung der äußeren funktion gewesen und jetzt müssen wir das ganze noch innen ableiten das ist aber genau das selbe wie eben
- also nur die pi dritte die wir schon hatten dann vereinfachen wir das jetzt auch noch ein bisschen diesmal kann man leider nichts kürzen aber dann halt eben
- trotzdem zusammenfassen mal pi wären p quadrat und zweimal drei wären sechs das minus hier das können wir noch vorne trans packen
- das das da steht und dann kommt nämlich der sinus ausdruck indem wir so jetzt auch nichts abändern den schreiben wieder einfach okay das wäre unsere
- zweite ableitung und damit hätten wir den ersten schritt erledigt sehr gut zweiter schritt die erste ableitung nehmen und gleich null setzen ob die
- erste ableitung hatten wer gebildet dann nehmen wir uns die und setzten die gleich null diese gleichung müssen wir jetzt nach iks auflösen und es ist gar
- nicht so einfach am anfang geht es noch da können wir eine sache noch machen indem wir hier durch die halbe
- rechnen 0 durch die halbe während 0 und rechts würde dann nur noch der cosinus ausdruck stehen und in diesem cosinus ausdruck ist ja unser ex versteckt also
- muss der cosinus jetzt irgendwie weg damit wir das ixs freilegen können und nach aufhören können und da gibt es jetzt zwei varianten variante eins ihr
- dürft einen taschenrechner benutzen dann zeige ich euch wie das geht variante 2 ihr dürft halt keinen taschenrechner benutzen und dann zeige ich euch aber
- trotzdem wie ihr vorgehen könnte also es wird jetzt ein bisschen dauern bis wir hat diese gleichung hier tatsächlich gelöst haben also variante eins mit
- taschenrechner bedeutet wir würden um den cosinus ausdruck hier wegzubekommen auf beiden seiten einfach mal cosinus rück -1 anwenden denn das löst den
- cosinus her auf und dann bleibt nur noch das übrig was hier im cosinus stand das selbe müssen wir aber auch auf der linken seite machen also cosinus -1 von
- 0 berechnen erster hinweis dazu achtet darauf dass ihr taschenrechner im modus radiance eingestellt ist also dass da so ein großes er im display steht falls da
- ein großes d stehen sollte dann steht das für die green und ist es grad mass also wenn ihr hier mit 90 grad 60 grad irgendwo in eurer gleichung aus gesehen
- hättet dann wären wir hier im grad mass aber hier sind ja überall php drittel das ist das bogen maß und deswegen muss er taschenrechner auf radiance stehen
- wenn er das dann tut dann tippt ja eben einen cosinus noch -1 von null was gibt er euch aus da bekommt ihr meisten seine komma zahl
- 1571 raus wenn ihr glück habt gebt ihr euch aber den exakten wert an die halbe aber gut ja aber jetzt einfach mal mit der comma zahl weil die meisten
- taschenrechner eben genau das da ausgeben das was euer taschenrechner anzahl ausgibt ist aber nur die halbe wahrheit
- denn wir bekommen hier zwei lösungen raus wenn man den cosinus ausrechnen möchte oder wissen will an welcher stelle der cosinus 0 wird dann ist das
- was euer taschenrechner ich sag schon richtig aber es gibt noch einen zweiten wert bei dem der cosinus 0 wird nämlich wenn ihr
- einfach in - vorne dran packt also auch bei minus 15 71 wird der cosinus gleich null und das muss man einfach wissen wenn man mit dem cosinus hantiert dass
- man durch den taschenrechner eine lösung bekommt aber auch immer noch eine negative lösung dazu existiert einfach ein - vorne tragen haben beim sinus ist
- es übrigens anders da könnt ihr nicht einfach so vorgehen da es so wenn ihr eine lösung vom taschenrechner bekommt bekommt ihr die zweite in dem ihr pi -
- diese erste lösung rechnet also da ist hinweis nur dass man das auch noch wissen was ihr merkt das gar nicht so einfach das ganze und hinzu kommt noch
- dass man diese negative lösung gar nicht haben will weil das negativer winkel ist es ist nicht so angenehm den würden wir erstmal noch in einen positiven winkel
- umrechnen denn wir wollten ja den ersten tiefpunkt im positiven bereich haben und dazu kann man einfach so vorgehen dass man vom vollen kreis diesen winkel
- sozusagen abzieht also wenn man da den negativen winkel abzieht dann bekommt man nämlich genau das gegenteil nämlich diesen großen winkel das heißt von einem
- vollen kreis im bogen mars sind es 24 diesen winkel jetzt ab diese 1571 und das ergebnis wäre dann ein positiver winkel hiervon also wenn ihr
- das rechnet kommt ihr auf 4,7 12 also ihr merkt jetzt ganz schön viel zeit getrennt selbst mit taschenrechner das ist jetzt aber nur die linke seite wenn
- wir das eben berechnen und auf der rechten seite ist es einfacher da löst sich der cosinus einfach nur auf und nur das was im cosinus stand bleibt dann
- jeweils auf den seiten übrig also auch hier bei der zweiten gleichung wäre das der fall das sind jetzt zwei gleichungen die man
- dann einzeln voneinander einfach nichts auflösen kann was dann nicht mehr so dramatisch das aber nur die wanten variante wenn
- wir tatsächlich einen taschenrechner benutzen dürfen falls wir keinen taschenrechner benutzen dürfen würden wir das ganze über den einheitspreis
- machen schauen wir uns den einheitspreis an da ist das ist ja ein kreis mit dem radius 1 also der läuft hier durch 1 1 - 1 - 1 und auf der x-achse finden wir die
- werte des casinos und auf der y-achse die werte des sinus diese einheits kreis also ein voller kreis wäre ja zwei haben wir eben schon
- gesehen dass sinnvoller kreis sind 360 grad eben 2p entsprechen und wir suchen jetzt den winkel bei denen der cosinus 0 wird weil das wollten wir hier wenn man
- zurück zu unserer gleichung gehen ist die frage wann wir der cosinus denn gleich null wäre ich im winkl passiert das und am einheitspreis kann man das
- ganz schön sehen denn wie gesagt auf der x-achse stehen die werte des cosinus auf der x-achse gesehen wäre der cosinus an dieser stelle hier einst an dieser
- stelle -1 und wo wird er 0 naja wenn wir auf unseren kreis gehen hier oben ist er auf der x-achse gesehen haben wir hier den wert 0 und genauso hier unten auch
- da von der x-achse rechts links gesehen sind dabei 0 also diese beiden stellen da wird mein cosinus gleich null welche winkel sind dass man läuft immer von
- hier los bis zu der stelle das wären 90 grad oder im bogen maß halbe und auch von hier losgelaufen es da unten hin da wären wir bei
- einem ziemlich großen kreis es werden drei halbe also im grunde die halbe bier halbe sind halt eben drei und die halbe so und damit hätten wir die exakten
- werte auch gefunden und das ganze ohne taschenrechner die halbe einmal als einen wert und den zweiten wert 3 bp das sind exakt dieselben werte wie wir eben
- mit taschenrechner rausgekommen haben aber die nutzen wir jetzt hier auch für uns ein mal eben wird
- cosinus an der stelle die halbe 0 als wir wollen den er hier auflösen und einmal bei drei alben und den casinos lösen wir damit auf dieser
- winkel bei diesem winkel wird der cosinus 0 haben wir ebene sehen bei dem winkel also bei drittelmix
- 1 wenn der winkel diesem winkel entspricht dann wird der cosinus davon eben 0 und genauso hier wenn das was hier im cosinus stand eben 3 bp wird
- dann wird der cosinus davon 04 kommen der lösung näher diese einzeln gleichungen lösen wir jetzt nach ex auf ich hoffe ihr seid noch dabei das ist
- nicht echt hart ich versuche so einfach wie möglich aber irgendwann ist es halt eben schon schwierig ich hoffe nicht zu schwierig
- diese gleichung schnappen wir uns und lösen die nachwuchs auf jetzt wieder ein bisschen uns anstarrten gottseidank hier ist das ixs danach wollen wir auflösen
- teilen wir am besten zuerst durch pi drittel dann hätten wir die halbe durch petric kurz in neben rechnung statt durch p drittel zu rechnen rechnen wir
- mal den kernwert also mal freudig p da können wir nämlich noch schön kürzen da kommt drei halbe raus das passiert auf der linken seite und rechts ist dass
- patrick lübeck da steht nur noch x1 an schaut mal jetzt können wir einfach nur noch plus 1 rechnen dann steht asics nämlich alleine und wir hätten drei
- halbe +1 also drei halbe plus ein ganzes werden ja 22 das wären fünf halbe wenn wir das man im
- kopfrechnen wollen und hätten unseren ersten wert unsere erste stelle gefunden für eine extrem stelle ich es gleich fünf halbe das können wir hier schon mal
- notieren dass das zur wahl steht das wäre unser erster x-pert wir bekommen aber noch einen zweiten durch unsere zweite gleichung und auch die lösen wir
- jetzt nach iks auf auch da durch die tritte rechnen drei halbe pi durch die dritte kurze neben rechnung statt durch petric l rechne mir mal 3 durch also mal
- den care wert hier gibt es jetzt tatsächlich etwas zu kürzen das pi mit dem pi hier unten ansonsten drei mal drei wären 9 und unten halbe rechtswegs
- 1 und auch da sind wir gleich durch wenn wir jetzt noch plus 1 rechnen steht dass ich alleine und wir hätten neun halbe +1 also neun halbe
- +2 halbe wären elf halbe wir haben eine zweite stelle gefunden für unsere extrem stelle also auch da tippen wir dass ein als zweite
- möglichkeit wäre 11 halbe ein kandidat für eine extrem stelle zu unserer übersicht schauen wir mal was wir gerade gemacht haben wir haben eigentlich nur
- die erst ableitung gleich null gesetzt und unsere kandidaten für die extrem stelle gefunden dritter punkt diese kandidaten müssen wir jetzt noch
- mit der zweite ableitung überprüfen denn wir würden ja gerne wissen es ist ein hochpunkt wo das ist ein tiefpunkt also packen wir unsere beiden kandidaten die
- wir gefunden haben x1 x2 einfach in die zweite ableitung rein und schauen ob sie größer oder kleiner 0 sind um zu wissen ob so hoch oder tief punkte sind zweite
- ableitung berechnen von den fünf halben also da jetzt wirklich in taschenrechner rein einmal für das externe stelle fünf einsätzen komplett einmal ausrechnen
- da müsste man auf einen wert von minus 1,64 kommt was uns einfach nur sagt das ist negativ damit haben wir einen hochpunkt an der stelle fünf halbe und
- dasselbe testen wir noch mit dem zweiten punkt die elf halbe in die zweite ableitung einsetzen hierfür das ixs einmal komplett ausrechnen und da kommt
- man auf 1,64 das ist positiv also haben wir einen tiefpunkt an der stelle wir haben unseren ersten hochpunkt und unseren
- ersten tiefpunkt gefunden hatte aber auch lange gut gedacht das wäre der dritte punkt gewesen und wir kommen jetzt zum letzten punkt jetzt sollen wir
- die periode t ausrechnen warum schauen wir uns das mal gerade an hier sehen wir noch mal schön an der stelle von fall wird ist unser
- erster hochpunkt an der stelle elf halbes unser erster tiefpunkt jetzt wollen wir aber nicht nur einen hochpunkt und einen tiefpunkt angeben
- sondern das was ich am anfang schon erwähnt hatte die hochpunkte wiederholen sich ja immer einmal hier einmal hier und gott sei dank eben in einem gewissen
- abstand und die periode also tee gibt uns diesen abstand an wenn wir die kennen wissen wir dass wir immer in demselben abstand
- hochpunkte haben also von den fünf hallen aus los laufend wenn die periode immer wieder drauf addieren oder davon abziehen dann können wir alle hochpunkte
- angeben und genauso mit den tiefpunkten den ersten tiefpunkt kennen wir und alle weiteren bekommen wir durch die perioden länger gegeben weil die sind immer im
- abstand t unterwegs also wenn wir die perioden länge jetzt ausrechnen könnten dann könnten wir alle hochpunkte und alle tiefpunkt angeben wie berechnet man
- die periode aus unserer funktionsgleiche das ist eigentlich relativ schnell zu machen nämlich die ferien länger berechnet sich aus
- immer aus einem vollen kreis also aus den 2 das ist ja die standard perioden länge für sinus von iks und dann teilen wir das jetzt aber noch durch das was
- hier eben verändert wurde dann müssen wir an die stelle gehen die hier drin bei dem iks ist also die zahl die vor dem ixs steht das wfp drittel die zwei p
- müssen wir durch diese zahl teilen also durch pi drittel teilen was kommt da raus naja vielleicht eine kleine neben rechnung 2
- durch patrick wollen wir so gar nicht haben sondern wir rechnen wieder mit dem care wert also mal 3 durch pi dann kürzlich das biwak und wir haben zweimal
- drei unsere perioden länge ist einfach nur in 6 damit wissen wir nach sechs einheiten wiederholen sich unsere hoch und
- tiefpunkte unser erster hochpunkt war also bei fünf halbe das bedeutet alle hochpunkte liegen an den stellen staaten 25 halbe und dann addieren wir sechs
- dazu nochmals extra zu oder 10.6 abziehen nochmals sechs ab das heißt das ist dieses k x 66 x k&k ist aus den ganzen zahlen also
- das ka läuft von 1 also dann hätte man zb 5 plus 1 mal 6 dann wären wir beim nächsten punkt dann wird s k die nächste ganze zahl nämlich 2 dann wären wir bei
- dem darauf folgenden hochpunkt also das ist ja die darstellung wie man dann eben alle hochpunkte angeben kann und auch k s aus den ganzen zahlen das heißt also
- auch negative zahlen dabei das geht dann auch nach links so zu sagen wenn wir hier minus 1 haben ziehen wir also von der ersten stelle 6 ab und laufen nach
- links auf die linke seite und dasselbe geben wir auch für die tiefpunkte an da war unser erster tiefpunkt ja bei 11 halben und auch da addieren wir dann kam
- a6 dazu und auch hier ist klar einfach aus den ganzen zahlen und damit finden wir alle tiefpunkten und damit haben es tatsächlich geschafft meinen kopf ich
- hoffe dass ich irgendwie durchgehalten hat und dass wir uns beim nächsten einfacheren video nochmals ist macht es kurz