Sekante

Grundidee

Eine Sekante ist in der ebenen Geometrie und in der Analysis eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht. Bei Kreisen bedeutet das: Die Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten. Bei allgemeinen Kurven oder Funktionsgraphen bedeutet es: Die Gerade verläuft durch mindestens zwei Punkte dieser Kurve oder dieses Graphen.

Wichtig ist die Sekante, weil sie Beziehungen zwischen Geraden und Kurven beschreibt. In der Analysis dient sie außerdem dazu, Steigungen zwischen zwei Punkten zu berechnen und die Ableitung einer Funktion zu verstehen.

Sekante am Kreis

In der Elementargeometrie ist eine Sekante eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet. Davon unterscheidet man zwei andere Lagen einer Geraden zum Kreis: Eine Tangente hat genau einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis.

Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, heißt Zentrale. Ob eine Gerade Sekante, Tangente oder Passante ist, kann man über den Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden entscheiden: Ist dieser Abstand kleiner als der Radius des Kreises, ist die Gerade eine Sekante. Ist der Abstand gleich dem Radius, ist sie eine Tangente. Ist der Abstand größer als der Radius, ist sie eine Passante.

Sehne und Durchmesser

Der Teil einer Sekante, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Sehne. Unter allen Sehnen eines Kreises sind diejenigen am längsten, die durch den Kreismittelpunkt gehen.

Solche längsten Sehnen heißen Durchmesser des Kreises. Auch ihre Längen werden als Durchmesser bezeichnet. Damit ist ein Durchmesser eine besondere Sehne: Er verbindet zwei Punkte des Kreises und verläuft zugleich durch den Mittelpunkt.

Sätze zu Kreissekanten

Der Sekantensatz beschreibt die Beziehung der Abschnittslängen zweier Kreissekanten, die sich außerhalb des Kreises schneiden.

Der Sekanten-Tangenten-Satz beschreibt die Beziehung zwischen einer Tangente und einer Sekante, wenn sie sich schneiden.

Sekante am Funktionsgraphen

Allgemeiner nennt man eine Gerade, die durch mindestens zwei Punkte einer Kurve oder eines Funktionsgraphen verläuft, eine Sekante. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung.

Für zwei Punkte (x_0|f(x_0)) und (x_1|f(x_1)) des Graphen einer Funktion f lautet die Sekantensteigung:

m_S = (f(x_1) - f(x_0)) / (x_1 - x_0).

Diese Formel ist der Differenzenquotient der Funktion f im Intervall [x_0, x_1]. Er gibt an, wie stark sich die Funktionswerte zwischen zwei Stellen im Verhältnis zur Änderung der x-Werte verändern.

Bezug zur Ableitung

Der Differenzenquotient ist wichtig für die Differentialrechnung und die Definition der Ableitung. Man hält die Stelle x_0 fest und lässt die Stelle x_1 gegen x_0 wandern. Bei einer differenzierbaren Funktion f nähert sich dann die Sekante durch die Punkte (x_0|f(x_0)) und (x_1|f(x_1)) der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt (x_0|f(x_0)).

Die Sekantensteigung konvergiert dabei gegen die Steigung der Tangente. Diese Tangentensteigung ist die Ableitung f'(x_0) der Funktion f an der Stelle x_0.

Außerdem gibt es das Sekantenverfahren. Es ist ein numerisches Näherungsverfahren zur Bestimmung einer Nullstelle mithilfe von Kurvensekanten.