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Kehrwert
Daraus folgt die Rechenregel für das Dividieren durch einen Bruch: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Siehe auch …
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Definition und Grundidee
Der Kehrwert, auch reziproker Wert oder Reziprokes genannt, ist für jede Zahl x ≠ 0 diejenige Zahl, die mit x multipliziert 1 ergibt. Er wird als 1/x oder x⁻¹ geschrieben. Es gilt also x · (1/x) = 1.
Die Zahl 0 besitzt keinen Kehrwert und kann selbst auch kein Kehrwert sein. Je näher eine von 0 verschiedene Zahl an 0 liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von 0 entfernt. Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv, der einer negativen Zahl negativ.
Die Funktion f(x) = 1/x heißt Kehrwertfunktion. Ihr Graph ist eine Hyperbel mit zwei Ästen im ersten und dritten Quadranten; bei x = 0 besitzt sie eine Polstelle. Die Funktion ist eine Involution: Zweimaliges Bilden des Kehrwerts führt wieder zur Ausgangszahl, also 1/(1/x) = x.
Brüche, Stammbrüche und Proportionalität
Bei einem Bruch a/b mit a,b ≠ 0 erhält man den Kehrbruch, indem man Zähler und Nenner vertauscht:
1/(a/b) = b/a.
Daraus folgt die Regel für die Division durch einen Bruch: Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
Der Kehrwert 1/n einer natürlichen Zahl n heißt Stammbruch. Ist eine Größe y umgekehrt proportional zu einer Größe x, dann ist y proportional zum Kehrwert 1/x. Dies wird als reziproke Proportionalität bezeichnet.
Komplexe Zahlen und Verallgemeinerung
Auch jede komplexe Zahl z = a + bi mit reellen Zahlen a und b besitzt einen Kehrwert, sofern z ≠ 0 ist. Mit dem Absolutbetrag |z| = √(a² + b²) und der konjugiert komplexen Zahl z̄ = a − bi gilt:
1/(a + bi) = z̄/|z|² = (a − bi)/(a² + b²) = a/(a² + b²) − b/(a² + b²)i.
Als komplexe Funktion f(z) = 1/z ist die Kehrwertbildung eine Möbiustransformation. Geometrisch entspricht sie in der komplexen Zahlenebene einer Kreisspiegelung am Einheitskreis, gefolgt von einer Spiegelung an der reellen Achse.
Allgemeiner ist x⁻¹ das multiplikative Inverse einer Einheit x in einem unitären Ring. Es ist durch x⁻¹ · x = x · x⁻¹ = 1 definiert, wobei 1 das Einselement des Ringes bezeichnet. In einem Ring von Matrizen ist dieses Einselement die Einheitsmatrix. Matrizen, zu denen keine inverse Matrix existiert, heißen singulär.
Wichtige Ungleichungen
Für jede positive reelle Zahl x ist die Summe aus der Zahl und ihrem Kehrwert mindestens 2:
x + 1/x ≥ 2.
Dies lässt sich unter anderem aus
(x + 1/x)² = 2² + (x − 1/x)²
ableiten. Da ein Quadrat nicht negativ ist, gilt (x + 1/x)² ≥ 2² und damit für x > 0 die Behauptung.
Für zwei positive reelle Zahlen a und b mit a + b = 1 beträgt die Summe ihrer Kehrwerte mindestens 4:
1/a + 1/b ≥ 4.
Aus 4ab ≤ 1 folgt 1/(ab) ≥ 4. Wegen a + b = 1 gilt außerdem
1/a + 1/b = (a + b)/(ab) = 1/(ab) ≥ 4.
Für jede natürliche Zahl n > 1 gilt zudem:
1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/n² > 1.
Zur Abschätzung werden alle Glieder nach 1/n nach unten durch 1/n² abgeschätzt. Dadurch ergibt sich
1/n + (1/n²)(n² − n) = 1/n + 1 − 1/n = 1.
Da die ursprünglichen Zwischenglieder größer als 1/n² sind, ist die ursprüngliche Summe echt größer als 1.
Typische Beispiele
• Der Kehrwert von 1 ist 1.
• Der Kehrwert von 0,001 ist 1000.
• Der Kehrwert von 2 ist 1/2 = 0,5.
• Der Kehrwert von 2/5 ist 5/2 = 2 1/2 = 2,5.
• Für die komplexe Zahl 3 + 4i gilt:
1/(3 + 4i) = 3/25 − 4/25 i.
