Symmetrie (Geometrie)

Grundidee und mathematische Beschreibung

Symmetrie bedeutet in der Geometrie, dass ein geometrisches Objekt durch bestimmte Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann und danach unverändert erscheint. Eine solche Umwandlung heißt Symmetrieabbildung oder Symmetrieoperation. Manchmal nennt man auch zwei oder mehr verschiedene Objekte zueinander symmetrisch, wenn sie zusammen eine symmetrische Figur bilden.

Alle Symmetrieoperationen eines Objekts kann man zu einer Symmetriegruppe zusammenfassen. Die einzelnen Operationen heißen Symmetrieelemente. Zur Symmetriegruppe gehört immer auch die identische Abbildung, also die Operation, bei der nichts verändert wird. Für n-fache Rotationssymmetrien verwendet die Schoenflies-Symbolik das Symbol C_n.

Symmetrie hängt von der Dimension ab: Auf einer Geraden gibt es vor allem Spiegelung an einem Punkt und Translation, also Verschiebung. In der Ebene unterscheidet man besonders Punkt-, Achsen-, Rotations- und Translationssymmetrie. Im dreidimensionalen Raum treten dazu Spiegelebenen, Drehachsen, Drehspiegelungen, Inversionssymmetrie und Kugelsymmetrie auf.

Symmetrien in der Ebene

Bei der Rotationssymmetrie oder Drehsymmetrie besitzt eine ebene Figur einen zentralen Punkt und wird durch eine Drehung um diesen Punkt auf sich selbst abgebildet. Ein Kreis oder Kreisring ist rotationssymmetrisch im engeren Sinne, weil jede Drehung um einen beliebigen Winkel ihn unverändert lässt. Allgemeiner heißt eine Figur rotationssymmetrisch, wenn eine Drehung um einen festen Winkel φ mit 0° < φ < 360° sie auf sich selbst abbildet. Der Winkel entsteht durch φ = 360°/n mit einer natürlichen Zahl n > 1. Diese Zahl n heißt Zähligkeit; man spricht von n-zähliger oder n-facher Rotationssymmetrie. Der Fall n = 1 bedeutet keine echte Drehsymmetrie, außer wenn man die triviale Gruppe C_1 bezeichnen will.

Spiegelsymmetrie in der Ebene ist gleichbedeutend mit Achsensymmetrie. Dabei wird eine Figur an einer Symmetrieachse gespiegelt. Für jede Spiegelsymmetrie gilt: Figur und Bildfigur sind deckungsgleich, entsprechende Strecken sind gleich lang, entsprechende Winkel gleich groß, und der Umlaufsinn wird umgekehrt, sofern er definiert ist. Beispiele sind gleichschenklige Dreiecke mit einer Symmetrieachse, gleichseitige Dreiecke mit drei Achsen, Rechtecke mit zwei Achsen und Quadrate mit vier Achsen. Kreise, Kreisringe und Geraden besitzen unendlich viele Symmetrieachsen.

Punktsymmetrie oder Zentralsymmetrie bedeutet, dass eine Punktspiegelung an einem Symmetriezentrum das Objekt auf sich selbst abbildet. In der Ebene ist Punktsymmetrie dasselbe wie eine 2-zählige Drehsymmetrie. Ein Viereck ist genau dann punktsymmetrisch, wenn es ein Parallelogramm ist; sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Auch Rechteck, Raute, Quadrat und jeder Kreis sind punktsymmetrisch.

Funktionsgraphen und schulische Nachweise

Für Funktionsgraphen sind Symmetriebedingungen besonders wichtig in der Schulmathematik. Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x gilt: f(-x) = f(x). Dann ist f eine gerade Funktion. Allgemeiner ist der Graph von f genau dann achsensymmetrisch zur Geraden x = a, wenn für beliebige x gilt: f(a - x) = f(a + x). Eine äquivalente Form lautet: f(2a - x) = f(x).

Punktsymmetrie eines Funktionsgraphen zum Punkt (a,b) kann mit der Formel f(a + x) - b = -f(a - x) + b nachgewiesen werden. Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zu (a,b) vor. Im Spezialfall des Ursprungs (0,0) vereinfacht sich die Bedingung zu f(-x) = -f(x). Ist sie für alle x gültig, ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Translationssymmetrie bedeutet, dass eine Figur durch eine nicht identische Verschiebung in sich selbst überführt wird; solche Figuren heißen periodisch. In der Mathematik müssen translationssymmetrische Figuren unbeschränkt sein. In Anwendungen nennt man aber auch beschränkte Ausschnitte periodischer Strukturen, etwa Gitter oder Kristallstrukturen, periodisch. Eine Funktion f: X → Y ist translationsinvariant, wenn es einen Vektor a in X gibt mit f(x) = f(x - a) für alle x in X. Schaubilder periodischer reeller Funktionen wie der Sinus-Funktion besitzen Translationssymmetrie in einer Richtung.

Besondere zweidimensionale Beispiele

Lateinische Großbuchstaben können nach geometrischer Symmetrie geordnet werden, wobei dies vom Schrifttyp abhängt. In der beschriebenen Abbildung haben FGJLPQR keine Symmetrie. NSZ sind zweizählig drehsymmetrisch. AMTUVWY besitzen eine vertikale Spiegelgerade, BCDEK eine horizontale. HIOX besitzen die höchste Symmetrie mit vier Symmetrieelementen: Sie sind zweizählig drehsymmetrisch und haben je eine horizontale und eine vertikale Spiegelgerade. Bei Kursivschrift gehen im Allgemeinen alle Spiegelsymmetrien verloren, Punktsymmetrien bleiben jedoch erhalten.

Farbtauschsymmetrie kombiniert Drehungen oder Spiegelungen mit dem Austausch von Farben. Zwei Figuren können farbtauschsymmetrisch zueinander sein. Eine einzelne Figur heißt autofarbtauschsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung und/oder Spiegelung und anschließendem Farbtausch wieder genau so aussieht wie vorher. Bei einer zweifarbigen Figur müssen dafür mindestens zwei Bedingungen erfüllt sein: Entfernt man die Farben, muss die Umrissfigur symmetrisch sein; außerdem müssen die verschieden gefärbten Teilbereiche kongruent und damit flächengleich sein.

Skalensymmetrie oder Skaleninvarianz bezeichnet in mathematischen und physikalischen Zusammenhängen die Unveränderbarkeit eines Objekts unter Vergrößerung oder Verkleinerung. Besonders deutlich wird dies bei Fraktalen.

Symmetrien im Raum

Im dreidimensionalen Raum entspricht der Achsensymmetrie der Ebene die Spiegelsymmetrie bezüglich einer Ebene. Der Punktsymmetrie der Ebene entspricht die Achsensymmetrie als Drehsymmetrie um 180°. Zusätzlich gibt es Punkt- oder Zentralsymmetrie im Raum sowie Translationssymmetrien.

Dreidimensionale Objekte sind rotationssymmetrisch, wenn es eine Achse gibt, sodass Drehungen um beliebige Winkel das Objekt auf sich selbst abbilden. Diese Form heißt Zylindersymmetrie; entsprechende Körper heißen Rotationskörper. Der Begriff Rotations- oder Drehsymmetrie wird aber auch verwendet, wenn ein Körper nur bei bestimmten Drehwinkeln um eine Achse auf sich selbst abgebildet wird. Ein homogener Würfel besitzt 13 Drehachsen: 3 durch Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen, 4 durch gegenüberliegende Ecken und 6 durch Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten. Seine Rotationssymmetrie umfasst 1 + 3·3 + 4·2 + 6·1 = 24 Symmetrieelemente. Mit der Punktspiegelung am Mittelpunkt ergeben sich 2·24 = 48 Elemente der vollen Symmetriegruppe des Würfels.

Spiegelsymmetrie im Raum kann bedeuten, dass ein Körper durch Spiegelung an einer Ebene auf sich selbst abgebildet wird. Diese Ebene heißt Spiegelebene. Der Begriff kann aber auch zwei Körper bezeichnen, die sich nur durch eine Spiegelung unterscheiden. Eine Kugel besitzt unendlich viele Spiegelebenen. Beim Würfel gibt es insgesamt 9 Spiegelebenen und 13 Rotationsachsen; die 48 Symmetrieelemente der Würfelgruppe unterteilen den Würfel in 48 äquivalente Fundamentalbereiche.

Drehspiegelung, Inversion und Naturbeispiele

Drehspiegelsymmetrie setzt sich aus zwei Teiloperationen zusammen: einer Drehung um eine Drehspiegelachse und einer Spiegelung an einer Ebene, die rechtwinklig zu dieser Achse steht und durch das Symmetriezentrum verläuft. Die Reihenfolge der beiden Teiloperationen ist egal. Ist die Drehspiegelebene keine Spiegelsymmetrieebene des Körpers, sind Drehung und Spiegelung einzeln keine Symmetrieoperationen, sondern nur ihre Kombination.

Beim Würfel gibt es 4-zählige, 6-zählige und 2-zählige Drehspiegelungen. Die 2-zählige Drehspiegelung führt dazu, dass jeder Punkt auf seinen Antipoden abgebildet wird, also auf den Punkt auf der gegenüberliegenden Seite mit gleichem Abstand vom Symmetriezentrum. Dieser Symmetrietyp heißt Inversion. Eine Drehspiegelung lässt beim Würfel keinen Punkt, keine Kante und keine Fläche an ihrem ursprünglichen Platz; einziger Fixpunkt ist das Symmetriezentrum. Beim Würfel ergeben sich 15 Drehspiegelelemente insgesamt. Mit den 9 Spiegelebenen sind das 24 Symmetrieelemente, genauso viele wie in der Würfel-Drehgruppe.

Punktsymmetrie oder Inversionssymmetrie im Raum bedeutet, dass jeder Punkt mit dem gegenüberliegenden Punkt auf derselben Geraden durch das Symmetriezentrum vertauscht wird. Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind als homogene Platonische Körper punktsymmetrisch; das reguläre Tetraeder ist es nicht. Kugelsymmetrie oder Radialsymmetrie ist Rotationssymmetrie um jede beliebige Achse durch denselben Punkt. Sterne sind annähernd kugelsymmetrisch, weil Eigenschaften wie die Dichte nur vom Abstand zum Mittelpunkt abhängen.

In der Natur ist der Körperbau der meisten Tierarten und vieler Pflanzenorgane äußerlich annähernd spiegelsymmetrisch. In der Biologie heißt dies bilateralsymmetrisch: Es gibt eine linke und eine rechte Hälfte. Die einzige Symmetrieebene ist die Medianebene, also die mittlere Sagittalebene. 95 Prozent aller Tierarten, darunter der Mensch, sind Bilateria. Diese Symmetrie ist nicht vollkommen; unpaare innere Organe wie das Herz und auch paarige Körperteile wie Augen, Ohren, Arme oder Beine zeigen Abweichungen. Stachelhäuter wie Seesterne besitzen eine fünfstrahlige Radiärsymmetrie, die Pentamerie. Schwämme und Placozoa sind asymmetrisch.