Punktsymmetrie

Grundidee und Definition

Punktsymmetrie, auch Inversionssymmetrie oder Zentralsymmetrie, ist eine geometrische Eigenschaft. Eine ebene Figur heißt punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die die Figur auf sich selbst abbildet. Der Punkt, an dem gespiegelt wird, heißt Symmetriezentrum.

Anschaulich liegt zu jedem Punkt der Figur auf der anderen Seite des Symmetriezentrums ein entsprechender Punkt im gleichen Abstand. Dadurch erscheint die Figur nach einer halben Drehung wieder unverändert.

Zusammenhang mit Drehungen

In der Ebene, also im zweidimensionalen euklidischen Raum, ist eine Punktspiegelung gleichbedeutend mit einer Drehung um 180° um den Symmetriepunkt. Punktsymmetrie ist dort somit ein Spezialfall der Drehsymmetrie.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum besteht die Punktspiegelung aus einer Drehung um 180° um den Symmetriepunkt und einer anschließenden Spiegelung an der zur Drehachse senkrechten Ebene durch den Symmetriepunkt.

Allgemein entsprechen im 2N-dimensionalen Raum N Drehungen um jeweils 180°. Ihre Drehachsen stehen paarweise senkrecht aufeinander und schneiden sich im Symmetriepunkt. Im 2N+1-dimensionalen Raum kommen zu N solchen Drehungen eine Spiegelung hinzu; der Symmetriepunkt liegt auf der Spiegelebene, und alle Drehachsen stehen senkrecht auf ihr.

Typische geometrische Beispiele

Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie genau dann vor, wenn es ein Parallelogramm ist. Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Deshalb sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.

Jeder Kreis ist bezüglich seines Mittelpunkts punktsymmetrisch. Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch; ihr Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke ihrer Mittelpunkte. Ein Dreieck ist dagegen niemals punktsymmetrisch, auch wenn zwei Dreiecke zueinander punktsymmetrisch sein können.

Ein regelmäßiges Polygon mit einer geraden Anzahl von Ecken ist punktsymmetrisch. Mehrere Symmetriezentren sind nur bei einer unbeschränkten Figur möglich: Eine Gerade hat sogar unendlich viele Symmetriezentren.

Kriterium für Funktionsgraphen

Für eine Funktion f:D→ℝ mit D⊂ℝ ist der Nachweis der Punktsymmetrie ihres Graphen eine häufige Aufgabe. Der Graph ist bezüglich des Punktes (a,b) punktsymmetrisch, wenn für alle x∈D gilt:

f(a+x)-b=-f(a-x)+b.

Gleichwertig ist die Bedingung

f(x)=2b-f(2a-x).

Für den Koordinatenursprung (0,0) vereinfacht sie sich zu f(-x)=-f(x). Gilt diese Gleichung für alle x, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung; die Funktion heißt dann ungerade Funktion.

Beispiele bei Funktionen

Für f(x)=2x⁵ gilt:

f(-x)=2(-x)⁵=-2x⁵=-f(x).

Der Graph ist daher punktsymmetrisch mit Symmetriezentrum (0,0).

Bei f(x)=2x⁵+2 wählt man a=0 und b=2. Dann gilt:

2b-f(2a-x)=4-f(-x)=4-(2(-x)⁵+2)=2x⁵+2=f(x).

Der Graph ist folglich punktsymmetrisch bezüglich (0,2). Die Bedingung kann die Symmetrie eines vermuteten Punkts überprüfen, bestimmt den Symmetriepunkt aber nicht selbst; meist wird dafür zunächst der Funktionsgraph gezeichnet.