Spiegelung (Geometrie)

Grundidee und Arten

Spiegelungen sind in der Geometrie bestimmte Kongruenzabbildungen der Zeichenebene oder des euklidischen Raumes. Eine Kongruenzabbildung erhält Längen und Winkel; Ausgangsfigur und Bildfigur sind daher kongruent.

Je nach Dimension und Spiegelelement unterscheidet man insbesondere Punkt-, Achsen- und Ebenenspiegelungen. Das Spiegelelement besteht aus den Punkten, die bei der Abbildung unverändert bleiben. Solche unveränderten Punkte heißen Fixpunkte. Entsprechend bezeichnet man Geraden oder Ebenen, die als Ganzes auf sich selbst abgebildet werden, als Fixgeraden beziehungsweise Fixebenen.

Eine Gleitspiegelung entsteht durch die Kombination einer Spiegelung mit einer Translation, also einer Verschiebung. Daneben gibt es Schrägspiegelungen; diese sind keine Kongruenzabbildungen.

Spiegelung an einem Punkt

Eine Punktspiegelung wird durch einen Punkt Z festgelegt, der Spiegelpunkt oder Zentrum heißt. Jedem Punkt P wird ein Bildpunkt P' so zugeordnet, dass Z die Verbindungsstrecke [PP'] halbiert. In der Ebene entspricht dies genau einer Drehung um 180° um Z.

Die Punktspiegelung besitzt genau einen Fixpunkt: das Zentrum Z. Ihre Fixgeraden sind genau die Geraden durch Z. Eine beliebige Gerade g, die nicht durch Z verlaufen muss, wird auf eine zu g parallele Bildgerade g' abgebildet. Die Abbildung ist geraden-, längen- und winkeltreu und damit eine Kongruenzabbildung.

Eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung wird Raumspiegelung oder Inversion genannt. Der Ausdruck Inversion wird allerdings häufig auch für eine Spiegelung an einem Kreis verwendet.

Jede Punktspiegelung der Ebene kann als Verkettung zweier Achsenspiegelungen dargestellt werden. Deren Achsen verlaufen durch Z und stehen senkrecht aufeinander; ihre Reihenfolge ist beliebig. Im Raum kann jede Punktspiegelung durch drei aufeinanderfolgende Ebenenspiegelungen ersetzt werden. Die drei Spiegelebenen gehen durch Z, stehen paarweise senkrecht aufeinander und dürfen ebenfalls in beliebiger Reihenfolge verwendet werden.

In der Kristallographie heißt die Punktspiegelung Inversion, das Zentrum Inversionszentrum. Die Achsen werden auch Drehinversionsachsen genannt; verwendet wird das Hermann-Mauguin-Symbol 1.

Spiegelung an einer Achse

Eine Achsenspiegelung oder Geradenspiegelung wird durch eine Gerade a bestimmt, die Spiegelachse oder kurz Achse. Zu jedem Punkt P gehört ein Bildpunkt P', sodass die Achse a die Verbindungsstrecke [PP'] rechtwinklig halbiert. Die Strecke steht somit senkrecht auf a, und ihr Schnittpunkt mit a ist ihr Mittelpunkt.

Die Fixpunkte sind genau die Punkte auf a; deshalb heißt a auch Fixpunktgerade. Fixgeraden sind die Achse selbst und alle Lotgeraden zur Achse. Betrachtet man die Achsenspiegelung im Raum, gibt es zusätzlich Fixebenen: alle Ebenen, die orthogonal zur Achse verlaufen. Auch die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung.

Zwei kongruente Objekte der Ebene können stets durch eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ineinander überführt werden. Daher kann die Achsenspiegelung als Grundbegriff der metrischen Geometrie der Ebene dienen.

In der Ebene kehrt eine Achsenspiegelung die Orientierung, also den Umlaufsinn, eines Dreiecks um. Sie ist deshalb keine eigentliche Bewegung: Ein flächiges Objekt kann nicht physisch in sein Spiegelbild überführt werden, ohne die Ebene zu verlassen. Zwei Spiegelungen an zueinander senkrechten Achsen ergeben dagegen eine Drehung um 180° um deren Schnittpunkt Z.

Im dreidimensionalen Raum entspricht die Achsenspiegelung einer Drehung um 180° um die Spiegelachse. Liegen ein Objekt und die Spiegelachse gemeinsam in einer Ebene, wird das Objekt dabei innerhalb des Raumes in dieselbe Ebene umgeklappt.

Spiegelung an einer Ebene

Die Ebenenspiegelung tritt nur in der Raumgeometrie auf. Sie wird durch eine Ebene α, die Spiegelebene, festgelegt. Der Bildpunkt P' eines Punktes P ist dadurch bestimmt, dass α die Verbindungsstrecke [P'P] rechtwinklig halbiert.

Fixpunkte sind genau die Punkte der Spiegelebene. Zu den Fixgeraden gehören alle Geraden innerhalb der Spiegelebene sowie alle Geraden, die orthogonal zu ihr verlaufen. Fixebenen sind die Spiegelebene selbst und sämtliche Ebenen, die zu ihr orthogonal stehen.

Eine Ebenenspiegelung verändert die Orientierung eines Simplex. Ein Simplex ist die grundlegende Verallgemeinerung eines Dreiecks auf höhere Dimensionen; im dreidimensionalen Raum ist dies ein Tetraeder. Die Ebenenspiegelung ist deshalb keine eigentliche Bewegung: Ein Tetraeder kann nicht physisch in sein Spiegelbild überführt werden. In der Kristallographie trägt diese Spiegelung das Hermann-Mauguin-Symbol m.

Beliebige Dimensionen

In einem n-dimensionalen euklidischen Raum existieren n Arten von Spiegelungen. Ihre Spiegelelemente sind Teilräume der Dimensionen 0, 1, …, (n−1). Ein 0-dimensionales Spiegelelement ist ein Punkt, ein 1-dimensionales eine Gerade und ein 2-dimensionales eine Ebene.

Die Fixpunkte sind stets genau die Punkte des jeweiligen Spiegelelements. Höherdimensionale Fixelemente sind sowohl Teilräume des Spiegelelements als auch Teilräume, die orthogonal zu ihm stehen.

Eine Spiegelung an einem (n−1)-dimensionalen Teilraum ist im n-dimensionalen Raum keine eigentliche Bewegung. Bettet man den Raum jedoch in einen (n+1)-dimensionalen Raum ein, entspricht diese Spiegelung einer involutorischen Drehung um das Spiegelelement. Involutorisch bedeutet, dass zweimaliges Anwenden wieder zum Ausgangszustand führt.

Im eindimensionalen Raum, also auf einer Geraden, ist die Punktspiegelung die einzige mögliche Spiegelung. Da sie die Reihenfolge der Punkte umkehrt, kann sie nicht als Bewegung innerhalb dieser Geraden verwirklicht werden.

Verallgemeinerung in der synthetischen Geometrie

In der synthetischen Geometrie werden Punkt- und Achsenspiegelungen auch in allgemeineren affinen Ebenen definiert. Für eine Punktspiegelung kann man eine affine Translationsebene voraussetzen, die das affine Fano-Axiom erfüllt. Das Zentrum O wird als Ursprung gewählt; jedem Punkt P wird umkehrbar eindeutig die Translation OP als Ortsvektor zugeordnet. Die Spiegelung ist durch die Abbildung des Ortsvektors OP auf den entgegengesetzten Vektor PO definiert.

Zu jedem Punkt O gibt es genau eine solche Punktspiegelung. Sie ist eine teilverhältnistreue Kollineation und damit eine Affinität: Geraden und Teilverhältnisse bleiben erhalten. Außerdem ist sie involutorisch. Sie wird durch den spurtreuen Endomorphismus −1 der Translationsgruppe erzeugt und ist eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor −1. In einer präeuklidischen Ebene gehört sie zu den Kongruenzabbildungen.

Eine senkrechte Achsenspiegelung lässt sich in einer präeuklidischen Ebene entsprechend definieren. Bei der Spiegelung σ_a an der Geraden a liegt das Bild σ_a(P) eines Punktes P auf der Lotgeraden zu a durch P. Der Schnittpunkt M dieser Lotgeraden mit a ist der Mittelpunkt von P und σ_a(P). Damit ist das Bild eindeutig bestimmt.

Zu jeder Geraden a existiert genau eine Achsenspiegelung σ_a. Auch sie ist eine teilverhältnistreue Kollineation, also eine Affinität. Ihre Fixpunkte sind genau die Punkte der Achse; ihre Fixgeraden sind die Spiegelachse und alle zu ihr senkrechten Geraden.