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Symmetrie / Spiegelung - zur y-Achse / zum Ursprung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 38 Zeilen
- Immer wenn wir irgendetwas symmetrisches sehen, denkt sich unser Gehirn, das wäre irgendwie geordnet oder sogar schön. Guckt euch mal das an. Das ist doch
- wirklich schön symmetrisch. Symmetrie begegnet uns immer im Alltag und wer hätte das gedacht, auch in der Mathematik. Da sieht es Ganze zwar nicht
- so schön aus, aber wir erklären euch jetzt hier bestimmt, ob Funktionen symmetrisch sind.
- In diesem Video betrachten wir also die Symmetrie von Funktion. Es geht um die zwei einfachsten Symmetriaten. Die offensichtlichste Symmetrie ist die
- Symmetrie zur Y-Achse. Deswegen nennt sich das Ganze Achsensymmetrie. Man muss sich jetzt einfach die Y-Achse, also die nach oben, als Spiegel vorstellen. So
- wie wenn du dich eben vor den Spiegel stellst. Wenn man jetzt von der Y-Achse gleich weit nach links und nach rechts geht, dann muss die Funktion an der
- entsprechenden Stelle auf beiden Seiten denselben Wert haben. Nur dann ist die Funktion zur yachse gespiegelt. So wie hier halt. Da sieht man ja auch schon,
- dass die Funktion hier irgendwie symmetrisch aussieht, aber trotzdem musst du das noch rechnerisch nachweisen können. Deswegen gibt's für die
- Symmetrie zurachse diese Formel f(x) = f -x. Das heißt also, der Funktionswert an der Stelle x muss genauso groß sein wie der Funktionswert an der Stelle -x. So,
- jetzt haben wir die Funktion gegeben. f(x) = x² + 3. Wir sollen bestimmen, ob die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Dann muss ja, wie gerade gesagt
- gelten f(x) = f -x. Und genau das müssen wir hier einsetzen. f(x) ist das, was oben steht, nämlich die x² + 3. Und f -x ist dann, wenn wir anstatt x eben -x
- einsetzen. Da man sich hier schnell vertun kann, schreiben wir das - x immer in eine Klammer. Links bleibt und - x in
- Klammern zum Quadrat ergibt + x zum Quadrat, weil wenn man eine negative Zahl quadriert, kommt eben eine positive raus, weißt du? Und schon haben wir
- bewiesen, dass f(x) = f -x ist, weil links und rechts das gleiche steht. Damit können wir sagen, die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
- Machen wir einfach mal noch ein Beispiel. f(x) = x - x². Wieder muss gelten, der Funktionswert an der Stelle x soll dem Funktionswert an der Stelle
- -x entsprechen. Also f(x) = f -x. Das ganze setzen wir wieder ein. Links bleibt x - x² stehen und rechts setzen wir wieder das -x in die Klammern ein.
- -x lassen wir stehen und -x zum wieder einfach + x². Jetzt sehen wir aber links und rechts steht nicht das gleiche. Rechts steht
- nämlich noch ein minus vorm ersten x. Das heißt aber auch, dass f von x eben nicht f von -x ist. Die Funktion ist also nicht symmetrisch zur Y-Achse.
- So, genug Achsensymmetrie gelernt, jetzt geht's zur Punktsymmetrie. Das heißt, es wird überprüft, ob etwa symmetrisch zu einem Punkt ist. Wir schauen uns das
- Standardbeispiel an, nämlich die Symmetrie zum Ursprung, also zum Punkt 00. Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn ich wieder gleich weit
- nach links und rechts gehe und dann die Funktionswerte die gleichen sind, nur der eine halt minus. Das heißt, hier rechts ist der Wert fon
- x. Und hier unten links ist der Wert f von -x. Beide sind gleich weit weg von der x-Achse, nur der eine eben in negativer Richtung. Deswegen muss gelten
- - f(x) = f -x. Das ist ganz wichtig. Falls du den Teil gerade nicht verstanden hast, drücke Pause oder spul noch einmal zurück.
- Okay, also wichtig, ich nehme den Funktionswert an der Stelle x und mach den negativ. Und dann muss das das gleiche sein wie der Funktionswert an
- der Stelle -x. Ist halt so. Machen wir ein Beispiel. Wir überprüfen, ob die Funktion f(x) = 2x hoch 3 - x punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dafür
- muss dann eben gelten - f(x) = f-x. Also setzen wir das ein. f(x) 2x hoch 3 - x, aber dann noch das Minus davor und da musst du dann auch wieder alles in die
- Klammern setzen, damit du keine Fehler mit den Vorzeichen machst. Und rechts setzen wir einfach das -x in die Funktion oben ein. Wieder in Klammern,
- versteht sich. Links lassen wir jetzt die Klammern weg und vielleicht erinnerst du dich noch dunkel an die Unterstufe. Hat man eine fucking
- Minusklammer und lässt die Klammer weg, dann drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um. Merkt ihr das? Vergisst man sogar im Studio manchmal. Deswegen haben
- wir dann links -2x hoch 3 + x. Rechts bleibt -x hooch 3 eben negativ. Warum? Weil bei ungeraden Hochzahlen des Minus stehen bleibt. Für die, die nicht
- wissen, warum, fragt einfach in den Comments. Wir haben das Minus nur mal vor die zwei geschrieben. Rechts hinten wird minus und minus zu plus, deswegen +
- x. Und dann weret das gedacht, links und rechts steht das gleiche. Schweinebacke. Das heißt, die Funktion fx ist symmetrisch zum Ursprung. Also was musst
- du behalten? Wir haben in diesem Video zwei spezielle Symmetriearten betrachtet. die Achsensymmetrie zur Y-Achse und die Punktsymmetrie zum
- Ursprung. Bei der Achsensymmetrie zur y-Achse muss der Funktionswert an der Stelle x so groß sein wie der Funktionswert an der Stelle -x. Dann ist
- die Funktion gespiegelt zur y-Achse. Bei der Symmetrie zum Ursprung mache ich den Wert an X einfach negativ und dann muss der so groß sein wie der Wert an -x. Im
- Notfall kannst du einfach versuchen, dir das durch eine Skizze herzuleiten. So, das war's jetzt mal für das Basic Video zur Symmetrie. Das Ganze lässt
- sich natürlich noch verallgemeinern. So kann man z.B. auch bestimmen, ob Funktionen symmetrisch zu einem beliebigen Punkt sind. Schaut auf jeden
- Fall mal in die Videobeschreibung, da ist der Link zu der Zusammenfassung des Videos mit ein paar Übungsaufgaben.
Zum Nachlesen
PunktsymmetrieDie Punktsymmetrie, auch Inversionssymmetrie oder Zentralsymmetrie, ist in der Geometrie eine Eigenschaft einer Figur. Eine Figur ist punktsymmetrisch, …
AchsensymmetrieAchsensymmetrie ist die spiegelbildliche Anordnung von Zeichen zu beiden Seiten einer gedachten Linie. In der Geometrie sind axiale Symmetrie oder …
Gerade und ungerade FunktionenGerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen. Eine reelle Funktion ist.
NormalparabelDie Normalparabel ist die spezielle Parabel mit der Gleichung y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} {\displaystyle y=x^{2}} , also der Graph der Quadratfunktion x …