Bewegung (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Bewegung ist in der Geometrie eine Abbildung des n-dimensionalen euklidischen Raums E auf sich selbst, die Abstände erhält. Für alle Punkte P und Q muss gelten:

d(f(P),f(Q))=d(P,Q).

Dabei ist d(P,Q) der euklidische Abstand, also die Länge der Strecke \overline{PQ} beziehungsweise des Vektors \overrightarrow{PQ}. Eine Bewegung ist damit bijektiv, affin und winkeltreu; sie ist ein isometrischer Isomorphismus. Umgekehrt ist jeder isometrische Isomorphismus des euklidischen Raums eine Bewegung.

Das Bild einer Figur ist stets kongruent zur Ausgangsfigur. In der zweidimensionalen Ebene heißt eine Bewegung deshalb auch Kongruenzabbildung. In der absoluten Geometrie dienen Bewegungsaxiome auch dazu, Kongruenz in nichteuklidischen Geometrien zu bestimmen: Zwei Figuren sind kongruent, wenn eine Bewegung sie bijektiv ineinander überführt.

Eine eigentliche Bewegung erhält zusätzlich die Orientierung. Erhält eine Bewegung die Orientierung nicht, heißt sie uneigentlich.

Lineare und koordinatenmäßige Beschreibung

Der euklidische Raum E kann als affiner Punktraum über einem euklidischen Vektorraum V betrachtet werden. Zu jeder Bewegung f:E\to E gehört eine orthogonale Abbildung \vec f:V\to V, also eine lineare Isometrie. Für alle Punkte P und Q gilt:

f(Q)=f(P)+\vec f(\overrightarrow{PQ}).

Wählt man einen Ursprung O, dann gilt für die Ortsvektoren:

\overrightarrow{Of(P)}=\vec f(\overrightarrow{OP})+\overrightarrow{Of(O)}.

Eine Bewegung besteht somit aus einer orthogonalen Abbildung und einer Translation. In kartesischen Koordinaten hat sie die Form y=Ax+b, wobei A eine n\times n-Matrix und b ein Translationsvektor ist. Genau dann ist diese Abbildung eine Bewegung, wenn A orthogonal ist. Bei \det(A)=1 ist sie eigentliche Bewegung.

Die Reihenfolge kann auch vertauscht beschrieben werden, denn (Ax)+b=A(x+c) mit c:=A^{-1}b.

Die Bewegungsgruppe

Die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen ist wieder eine Bewegung. Daher bilden alle Bewegungen die Bewegungsgruppe oder euklidische Gruppe \mathrm{E}(n) beziehungsweise \mathrm{ISO}(n). Die eigentlichen Bewegungen bilden darin die Untergruppe \mathrm{E}^{+}(n) beziehungsweise \mathrm{SE}(n).

Diese Gruppen lassen sich als semidirekte Produkte \mathrm{O}(n)\ltimes\mathbb{R}^{n} beziehungsweise \mathrm{SO}(n)\ltimes\mathbb{R}^{n} auffassen. Anschaulich werden orthogonale Abbildungen mit Translationen verbunden. Für x\mapsto Ax+a und y\mapsto By+b lautet die Verkettung:

B(Ax+a)+b=(BA)x+(Ba+b).

Beide Gruppen sind Lie-Gruppen der Dimension \frac{n\cdot(n+1)}{2}.

Bewegungen in der Ebene

Eigentliche Bewegungen der euklidischen Ebene sind Parallelverschiebungen, Drehungen um einen Punkt und Punktspiegelungen als Drehungen um 180°.

Uneigentliche Bewegungen sind Achsenspiegelungen sowie Gleitspiegelungen. Eine Gleitspiegelung besteht aus einer Achsenspiegelung, gefolgt von einer Translation längs der Spiegelachse.

Die Bewegungsgruppe \mathrm{ISO}(2) lässt sich durch Achsenspiegelungen erzeugen.

Bewegungen im Raum

Eigentliche Bewegungen des euklidischen Raums sind Translationen, Drehungen um beliebige Achsen, Spiegelungen an einer Geraden als Drehungen um 180° sowie Schraubungen. Eine Schraubung verbindet eine Drehung mit einer Translation längs der Drehachse.

Zu den uneigentlichen Bewegungen gehören Ebenenspiegelungen, Gleitspiegelungen mit einer Translation parallel zur Spiegelebene, Drehspiegelungen mit einer Drehung um eine zur Spiegelebene orthogonale Achse und Punktspiegelungen.

Drehungen und Drehspiegelungen haben stets Fixpunkte. Wird der Koordinatenursprung in einen Fixpunkt gelegt, verschwindet der translatorische Anteil. Eine Drehung im Raum besitzt stets eine Achse und einen Drehwinkel und ist dadurch eindeutig festgelegt; Entsprechendes gilt für Drehspiegelungen. Bei Drehungen mit sich nicht schneidenden Achsen kann der translatorische Anteil jedoch notwendig sein.

\mathrm{ISO}(3) wird durch Ebenenspiegelungen erzeugt. Die Bewegung eines starren Körpers oder eine Kamerafahrt kann als stetige Folge von Bewegungen aufgefasst werden, also als Abbildung eines reellen Zeitintervalls [t_{0},t_{1}] in die Gruppe der eigentlichen Bewegungen des Raums.