Kreis

Definition und Grundbegriffe

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur und eine Kurve: Er besteht aus allen Punkten einer Ebene, die von einem festen Mittelpunkt M denselben Abstand r haben. Dieser Abstand heißt Radius oder Halbmesser. Formal gilt für einen Kreis k in der Ebene E:

k = {X ∈ E | |MX| = r}, wobei r > 0.

Der Durchmesser d ist die längste Sehne des Kreises und verläuft durch den Mittelpunkt. Es gilt d = 2r und r = d/2. Die Punkte mit |MX| < r bilden das offene Innere; Kreislinie und Inneres zusammen, also {X ∈ E | |MX| ≤ r}, heißen Kreisscheibe, Kreisfläche oder Vollkreis.

Ein Kreisbogen ist ein zusammenhängender Teil der Kreislinie. Eine Sehne verbindet zwei Punkte der Kreislinie; ihre beiden zugehörigen Bögen sind bei einem Durchmesser Halbkreise. Ein Kreissektor wird von zwei Radien und einem Bogen begrenzt, ein Kreissegment von Sehne und Bogen. Ein Kreisring entsteht, wenn aus einer Kreisfläche ein kleinerer konzentrischer Kreis, also ein Kreis mit demselben Mittelpunkt, ausgeschnitten wird.

Für eine Gerade gibt es drei Lagen zum Kreis: Eine Sekante schneidet ihn in zwei Punkten, weil ihr Abstand vom Mittelpunkt kleiner als r ist. Eine Tangente hat genau einen Berührpunkt und ihr Abstand vom Mittelpunkt ist r; sie steht dort senkrecht auf dem Radius. Eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, weil ihr Abstand vom Mittelpunkt größer als r ist.

Gleichungen und Darstellungen

Im kartesischen Koordinatensystem hat ein Kreis mit Mittelpunkt M = (x_M, y_M) und Radius r die Mittelpunktsgleichung

(x − x_M)² + (y − y_M)² = r².

Sie folgt aus dem Abstand |XM| = √((x − x_M)² + (y − y_M)²). Ausmultipliziert hat die Gleichung die Form x² + y² + ax + by + c = 0 mit a = −2x_M, b = −2y_M und c = x_M² + y_M² − r². Der Einheitskreis, also der Kreis mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 1, lautet x² + y² = 1.

Ein Kreis ist kein Funktionsgraph, weil zu vielen x-Werten zwei y-Werte gehören. Seine obere und untere Hälfte lassen sich aber durch f₁(x) = y_M + √(r² − (x − x_M)²) und f₂(x) = y_M − √(r² − (x − x_M)²) beschreiben. Für den Einheitskreis gilt f₁(x) = √(1 − x²) und f₂(x) = −√(1 − x²).

Eine Parameterdarstellung lautet x = x_M + r cos φ und y = y_M + r sin φ mit 0 ≤ φ < 2π. In der komplexen Ebene lautet die Kreisgleichung |z − m| = r und die Parameterdarstellung z = m + re^(iφ). Es gibt auch eine rationale Parametrisierung: x = x_M + r(1 − t²)/(1 + t²), y = y_M + r·2t/(1 + t²). Dabei wird der Punkt (x_M − r, y_M) nur als Grenzwert für t → ±∞ erreicht.

Durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte gibt es genau einen Kreis. Liegen drei vorgegebene Punkte auf einer Geraden, ist in der Determinantenformel für den Kreis durch drei Punkte C = 0.

Umfang, Fläche und Näherungen

Die Kreiszahl π ist für alle Kreise gleich definiert durch das Verhältnis von Umfang U zu Durchmesser d:

π = U/d = U/(2r) = 3,14159…

π ist transzendent und damit irrational. Deshalb besitzt sie keine endliche Dezimaldarstellung. Für den Umfang und die Fläche A der Kreisscheibe gelten:

U = πd = 2πr A = πr² = πd²/4 ≈ 0,78540·d²

d = 2r = 2√(A/π) ≈ 1,12838·√A.

Die Flächenformel lässt sich anschaulich gewinnen, indem man die Kreisfläche in viele Sektoren zerlegt und diese annähernd zu einem Rechteck anordnet. Im Grenzwert hat dieses die Länge πr, also den halben Umfang, und die Breite r. Daher ist seine Fläche πr². Für einen Sektorwinkel α im Bogenmaß gelten außerdem: Bogenlänge L_B = rα, Sektorfläche A_SK = r²α/2, Sehnenlänge l_KS = 2r sin(α/2), Segmenthöhe h = r − r cos(α/2) und Segmentfläche A_SG = r²(α − sin α)/2. Für einen Kreisring mit Außenradius r_a und Innenradius r_i ist A = π(r_a² − r_i²).

Die Kreisfläche kann angenähert werden. Ein umschriebenes Quadrat hat die Fläche 4r², ein einbeschriebenes Quadrat 2r²; ihr Mittelwert 3r² bestimmt die Kreisfläche mit einem relativen Fehler von weniger als 5 %. Beim Auszählen kleiner Rasterquadrate liefern vollständig enthaltene Quadrate einen zu kleinen, berührte Quadrate einen zu großen Wert; ihr Mittelwert wird mit feinerem Raster genauer. Regelmäßige einbeschriebene Vielecke, beginnend mit einem Sechseck und dann Zwölf-, 24- und 48-Eck, haben Flächen unterhalb der Kreisfläche und nähern sich ihr an. Umschriebene Vielecke liefern entsprechend fallende Flächenwerte oberhalb der Kreisfläche.

Die Krümmung beschreibt, wie stark eine Kurve lokal von einer Geraden abweicht. Beim Kreis ist sie überall gleich: κ(P) = 1/r. Nur die Gerade besitzt ebenfalls konstante Krümmung, dort κ = 0.

Wichtige Kreisgeometrie

Jede Gerade durch den Mittelpunkt ist eine Symmetrieachse eines Kreises. Jede Drehung um den Mittelpunkt bildet ihn auf sich selbst ab. Kreise mit gleichem Radius sind kongruent, also durch Bewegungen wie Parallelverschiebungen ineinander überführbar; beliebige Kreise sind ähnlich.

Eine Sehne AB erzeugt einen Umfangswinkel ∠ACB mit Scheitel C auf der Kreislinie und einen Zentriwinkel ∠AMB mit Scheitel im Mittelpunkt. Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Liegen Umfangswinkel und Zentriwinkel auf derselben Seite der Sehne, ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Umfangswinkel auf entgegengesetzten Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°. Nach dem Satz von Thales ist jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser 90°. Der spitze Winkel zwischen einer Sehne und der Tangente an einem Sehnenendpunkt ist so groß wie der zugehörige Umfangswinkel.

Schneiden sich zwei Sehnen [AC] und [BD] in S, gilt der Sehnensatz |AS|·|CS| = |BS|·|DS|. Für zwei Sekanten mit äußerem Schnittpunkt S gilt dieselbe Produktgleichung. Schneiden eine Sekante den Kreis in A und C und eine Tangente ihn in B, lautet der Sekanten-Tangenten-Satz |AS|·|CS| = |BS|².

Jedes nicht ausgeartete Dreieck besitzt genau einen Umkreis durch seine drei Ecken; dessen Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Es besitzt auch genau einen Inkreis, der alle drei Seiten berührt; dessen Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Bei einem konvexen Viereck existiert genau dann ein Umkreis, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Ein Inkreis existiert genau dann, wenn die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten gleich sind. Unregelmäßige Vielecke mit mehr als drei Ecken besitzen im Allgemeinen keinen Um- oder Inkreis, regelmäßige Vielecke dagegen immer.

Bei der Kreisspiegelung oder Inversion am Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r liegt der Bildpunkt P′ auf der Halbgeraden MP und erfüllt |MP|·|MP′| = r². Das Kreisinnere und -äußere werden vertauscht, Punkte der Kreislinie bleiben fest. Die Abbildung ist winkeltreu, orientierungsumkehrend und bildet Kreise und Geraden wieder auf Kreise oder Geraden ab. Zwei hintereinander ausgeführte Kreisspiegelungen ergeben eine orientierungserhaltende, winkel- und kreistreue Möbiustransformation.

Konstruktionen, Analysis und Verallgemeinerungen

Bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal entstehen neue Punkte als Schnittpunkte von Geraden und Kreisen. Einen Thaleskreis über der Strecke AB konstruiert man, indem man zuerst ihren Mittelpunkt M als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt und dann den Kreis mit Mittelpunkt M und Radius |AM| zeichnet. Liegt ein Punkt P außerhalb eines Kreises k mit Mittelpunkt M, so erhält man die Berührpunkte der Tangenten von P an k als Schnittpunkte von k mit dem Thaleskreis über PM als Durchmesser.

Der Kreis durch drei nicht kollineare Punkte entsteht, indem man die Mittelsenkrechten zweier Seiten des Dreiecks konstruiert: Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt. Eine Kreisfläche lässt sich geometrisch exakt verdoppeln: Ist R die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge r, so gilt R² = 2r² und damit πR² = 2πr².

Ein regelmäßiges n-Eck lässt sich genau dann mit Zirkel und Lineal in einen Kreis einbeschreiben, wenn n = 2^k·p₁…p_m ist, wobei k ∈ ℕ₀ und p₁, …, p_m paarweise verschiedene fermatsche Primzahlen der Form 2^(2^r) + 1 sind. Möglich ist dies beispielsweise für n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, nicht aber für 7, 9, 11, 13, 14. Carl Friedrich Gauß bewies 1796 die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks. Die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal ist unmöglich, weil Ferdinand von Lindemann 1882 die Transzendenz von π bewies.

In der Analysis kann die obere Halbkreislinie durch y = √(r² − x²) für −r ≤ x ≤ r beschrieben werden. Die Kreisfläche ergibt sich dann zu A_K = 2∫₋ᵣʳ√(r² − x²) dx = πr². Mit Polarkoordinaten x = ρ cos φ und y = ρ sin φ gilt A = ∫₀²π∫₀ʳρ dρ dφ = πr². Die Parameterkurve f(t) = (r cos t, r sin t) für t ∈ [0, 2π] durchläuft den Kreis einmal; ihre Weglänge ist U = 2πr.

Unter allen ebenen Flächen mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat sie bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang; sie ist die eindeutig bestimmte Lösung des isoperimetrischen Problems. Im dreidimensionalen Raum entspricht dem Kreis die 2-Sphäre, die Hülle einer Kugel; der Kreis heißt in diesem Zusammenhang 1-Sphäre. Außerdem ist er eine spezielle Ellipse und ein Kegelschnitt: Er entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene senkrecht zur Kegelachse.

Historische Entwicklung

Schon vor 4000 Jahren bestimmten Ägypter Kreisflächen näherungsweise mit A ≈ (8d/9)² = 256r²/81 = 3,16049…·r². Die Abweichung beträgt etwa +0,6 %. Die Babylonier der Zeit von 1900 bis 1600 v. Chr. schätzten U ≈ 3d und daraus A ≈ U²/12 ≈ 3r²; die Abweichung beträgt −4,5 %. Sie berechneten auch Sehnenlängen und Segmenthöhen.

In der griechischen Antike formulierte Platon die Kreisdefinition als gleiche Entfernung der äußersten Teile vom Mittelpunkt. Thales von Milet (624–546 v. Chr.) wird unter anderem die Aussage zugeschrieben, dass der Durchmesser den Kreis halbiert; der Satz von Thales betrifft rechte Umfangswinkel im Halbkreis. Euklid von Alexandria systematisierte die Geometrie in den Elementen; deren drittes Buch behandelt den Kreis.

Archimedes zeigte in Die Kreismessung, dass die Kreisfläche dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten r und U_K entspricht: A_K = ½U_K·r. Außerdem bewies er für U/d die Schranken 3 10/71 < U/d < 3 1/7; die praktische Näherung 22/7 ≈ 3,143 wird weiterhin verwendet. Apollonios von Perge fasste Kreis und Ellipse als Kegelschnitte auf.

In der Renaissance wurden Euklids Elemente wieder verbreitet; Erhard Ratdolt druckte 1482 in Venedig die erste gedruckte Ausgabe. Entscheidend für die Konstruktionstheorie war Lindemanns Beweis von 1882, dass π transzendent ist: Damit war die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal bewiesen.