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Parallelverschiebung
Die Parallelverschiebung oder Translation ist eine geometrische Abbildung, die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in dieselbe Richtung um dieselbe …
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Grundidee und Eigenschaften
Eine Parallelverschiebung, auch Translation genannt, ist eine geometrische Abbildung, die jeden Punkt der Zeichenebene oder des Raumes in dieselbe Richtung um dieselbe gerade Strecke verschiebt. Sie wird durch einen Verschiebungsvektor beschrieben und ist eine lineare Bewegung.
Bei einer Parallelverschiebung bleiben Längen und Winkel erhalten. Deshalb gehört sie zu den Bewegungen und insbesondere zu den Kongruenzabbildungen. Die Hintereinanderausführung zweier Translationen ist wieder eine Translation. Der Begriff lässt sich vom zwei- und dreidimensionalen Anschauungsraum auf den n-dimensionalen euklidischen Raum sowie auf die affine und die riemannsche Geometrie verallgemeinern.
Parallelverschiebung in der Ebene
Im zweidimensionalen euklidischen Raum \mathbb {R}^{2} verschiebt eine Parallelverschiebung jeden Punkt um die gleiche Strecke in die gleiche Richtung. Sie wird durch die affine lineare Funktion
\tau\colon \mathbb {R}^{2}\to\mathbb {R}^{2}
beschrieben. Für feste reelle Zahlen a,b\in\mathbb {R} gilt:
(x,y)\to (x+a,y+b).
Vektoriell lautet die Darstellung:
\vec{x}\to\vec{x}+\vec{v}, mit \vec{v}={a\choose b}.
Die Hintereinanderausführung zweier Parallelverschiebungen ergibt erneut eine Parallelverschiebung. Außerdem kann eine Parallelverschiebung als Doppelspiegelung an zwei zueinander parallelen Achsen g und h dargestellt werden.
Paralleltransport auf gekrümmten Objekten
In der riemannschen Geometrie wird die Parallelverschiebung aus der euklidischen Geometrie auf gekrümmte Objekte, beispielsweise eine Kugeloberfläche, erweitert. Diese Objekte werden mathematisch präzise als riemannsche Mannigfaltigkeiten bezeichnet.
Vektoren können entlang von Kurven auf solchen Mannigfaltigkeiten parallel verschoben werden. Die Methode wurde präzise durch Tullio Levi-Civita formuliert. Heute wird sie meist Paralleltransport, aber auch Parallelverschiebung genannt.
Definition in der affinen Geometrie
In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie, auch synthetische Geometrie genannt, heißt eine Kollineation \mathcal{\alpha} Translation, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
- Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet: T_{1}:\ \forall g\in\mathcal{G}:\ \alpha(g)\parallel g.
- Falls überhaupt ein Punkt verändert wird, besitzt die Abbildung keinen Fixpunkt: T_{2}:\ \forall P\in\mathcal{P}:\ \alpha\neq\mathrm{id}\Rightarrow\alpha(P)\neq P.
Dabei ist \mathcal{P} die Menge aller Punkte und \mathcal{G} die Menge aller Geraden. Solche Translationen können beispielsweise in einer affinen Translationsebene als Ortsvektoren der Punkte verwendet werden. Jede Translation ist auch in der synthetischen Geometrie eine Affinität. Ihre Fortsetzung im projektiven Abschluss des affinen Raumes ist eine projektive Perspektivität und damit eine Projektivität.
