Kreisring

Definition und Flächeninhalt

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen, also zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Der äußere Kreis hat den Radius R und den Durchmesser D = 2R, der innere Kreis den Radius r und den Durchmesser d = 2r.

Der Flächeninhalt A des Kreisrings ist die Differenz der Flächeninhalte von Außen- und Innenkreis:

A = π · (R² − r²) = (π/4) · (D² − d²).

Dabei ist π die Kreiszahl. Die Ringbreite b ist der Abstand zwischen Innen- und Außenkreis. Mit den Durchmessern lässt sich der Flächeninhalt auch so berechnen:

A = π · (D − b) · b = π · (d + b) · b.

Mit dem mittleren Kreisringdurchmesser dₘ = (D + d)/2 gilt außerdem:

A = π · dₘ · b.

Diese Angaben werden beispielsweise bei Rohrquerschnitten verwendet; dort entspricht die Ringbreite b der Wanddicke des Rohres.

Flächengleichheit und Bullaugen-Illusion

Zwei Kreisringe können gleich große Flächen haben, obwohl sie unterschiedlich aussehen. Ist bei beiden Kreisringen die Strecke vom Berührungspunkt einer Tangente am Innenkreis bis zu ihrem Schnittpunkt mit dem Außenkreis gleich lang, sind auch die Flächeninhalte gleich. Mamikon Mnatsakanian zeigte dies mit einer geometrischen Transformation: Die anliegende Tangentenstrecke wird um den Mittelpunkt rotiert. Die entstehenden Segmente lassen sich nach innen verschieben und bilden zusammen eine Kreisfläche.

Ein Beispiel verwendet einen Kreis mit Radius r = 5 sowie konzentrische Kreise mit den Radien 1, 2, 3 und 4. Der äußere Kreisring mit Breite b = 1, also zwischen den Radien 4 und 5, ist flächengleich mit dem Kreis des Radius 3. Dies heißt Bullaugen-Illusion, weil der Kreis optisch größer wirken kann. Die Gleichheit folgt aus dem pythagoreischen Tripel (3, 4, 5):

π · 5² − π · 4² = π · 3².

Weitere Abbildungen zeigen einen roten Kreis, der flächengleich zu einem blauen Kreisring ist. Daraus folgt auch ein Beispiel mit zwei Spulen: Wird ein Band von Spule A auf Spule B abgewickelt, bleibt die Summe der Maßzahlen der beiden braunen Kreisflächen in jedem Stadium gleich der Flächenmaßzahl der vollen Spule; ausgenommen ist der Bandabschnitt zwischen den Spulen.

Hydraulik und Bremsscheiben

Für hydraulische Anwendungen ist beim Kreisring der hydraulische Durchmesser d_H wirksam. Er beträgt:

d_H = (D² − d²)/(D + d) = D − d.

Bei Bremsscheiben kann das Reibmoment M_t aus der Axialkraft F_ax, dem Reibwert μ und dem reibungsrelevanten Radius r_μ bestimmt werden:

M_t = μ · F_ax · r_μ.

Der reibungsrelevante Radius beziehungsweise Durchmesser ist:

r_μ = [2 · (R³ − r³)] / [3 · (R² − r²)]

d_μ = [2 · (D³ − d³)] / [3 · (D² − d²)].