Symmetriegruppe – einfach erklärt

Definition der Symmetriegruppe

In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts die Gruppe aller Kongruenzabbildungen, die das Objekt auf sich selbst abbilden. Die Gruppenverknüpfung ist die Verkettung dieser Abbildungen. Zu den Symmetrieelementen gehören insbesondere Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen. Die Gesamtheit der Symmetrieelemente einer Figur bildet ihre spezielle Symmetriegruppe.

Um die Symmetriegruppe einer Figur zu bestimmen, werden ihre möglichen Symmetrien systematisch erfasst. Bei einem homogenen Tetraeder gibt es 12 verschiedene Rotationen. Diese bilden die Rotationsgruppe beziehungsweise Symmetriegruppe der Figur. Eine Einfärbung der Seitenflächen kann dabei lediglich der Veranschaulichung dienen: Ein entsprechend eingefärbtes Tetraeder besitzt möglicherweise keine dieser Symmetrien.

Rotations- und Spiegelsymmetrie

Eine Figur ist rotationssymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um einen zentralen Punkt um den Winkel φ von ihrer Ausgangsfigur nicht zu unterscheiden ist. Ein Kreis und ein Kreisring sind im engeren Sinne rotationssymmetrisch, weil jede Drehung um einen beliebigen Winkel sie auf sich selbst abbildet.

Bei einer n-fachen Rotations- oder Drehsymmetrie wird die Figur durch eine Drehung um den festen Winkel

φ = 360°/n

auf sich selbst abgebildet. Dabei gilt 0° < φ < 360° und n > 1. Die natürliche Zahl n heißt Kennzahl oder Zähligkeit der Rotationssymmetrie. Die neutrale Symmetrieoperation wird mitgezählt. Sie bedeutet „keine Operation“ und lässt die Figur in ihrer Ausgangsstellung; sie ist von einer Drehung um φ = 360° nicht zu unterscheiden. Im Trivialfall n = 1 liegt keine Rotationssymmetrie vor. Im mathematischen Kontext wird die Kennzahl 1 gewöhnlich nicht verwendet, außer zur Bezeichnung der trivialen zyklischen Gruppe C₁, die nur aus der identischen Abbildung besteht.

Reguläre Polygone sind typische rotationssymmetrische Figuren. Die Abbildung des Artikels zeigt die ersten vier regulären Polygone sowie zwei weitere Figuren; ihre größtmöglichen Kennzahlen n sind angegeben. Eine dieser zusätzlichen Figuren besitzt keine, die andere eine 2-fache Rotationssymmetrie.

Eine Figur ist spiegelsymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an einer Spiegelsymmetrieachse auf eine Figur abgebildet wird, die von ihr nicht zu unterscheiden ist. Die sechs dargestellten Figuren besitzen 3, 4, 5, 6, 1 beziehungsweise 2 Spiegelsymmetrieachsen. Homogene reguläre Polygone haben genauso viele Spiegelsymmetrieachsen wie Rotationssymmetrieelemente, wenn die neutrale Symmetrieoperation mitgezählt wird. Umgekehrt folgt daraus nicht, dass jede Figur mit n-facher Rotationssymmetrie Spiegelsymmetrieachsen besitzt. Ebenso muss eine Figur mit einer Spiegelsymmetrieachse nicht rotationssymmetrisch sein.

Diskretheit von Symmetriegruppen

Eine Symmetriegruppe besitzt eine diskrete Topologie, wenn es kleinste mögliche Schritte gibt. Bei einer Gruppe von Drehungen um einen Punkt ist sie genau dann diskret, wenn alle vorkommenden Drehwinkel Vielfache eines kleinsten Winkels sind. Enthält die Gruppe dagegen beliebig kleine Drehwinkel, ist sie nicht diskret.

Jede Gruppe mit endlich vielen Elementen besitzt eine diskrete Topologie. Eine diskrete Gruppe lässt sich aus endlich vielen Symmetrieoperationen durch Komposition erzeugen; der Umkehrschluss gilt jedoch nicht.

Praktisch ist eine Symmetriegruppe genau dann diskret, wenn sowohl für die Längen aller von null verschiedenen Verschiebungen als auch für die Drehwinkel aller Drehsymmetrien eine untere Schranke existiert.

Periodizität und Verschiebungen

Für die Untersuchung der Periodizität betrachtet man alle von null verschiedenen Verschiebungen beziehungsweise Translationen einer Symmetriegruppe. Entscheidend ist, wie viele ihrer Verschiebungsvektoren linear unabhängig sind. Man bestimmt also die Dimension der linearen Hülle dieser Vektoren.

Enthält eine Gruppe überhaupt keine Verschiebungen, gibt es mindestens einen Punkt, der Fixpunkt aller Abbildungen ist. Eine solche Gruppe heißt Punktgruppe. Punktgruppen sind genau dann endlich, wenn sie diskret sind.

Sobald eine Symmetriegruppe mindestens eine Verschiebung enthält, besitzt sie in der euklidischen Geometrie automatisch unendlich viele Elemente. Sind so viele linear unabhängige Verschiebungsvektoren vorhanden wie die Dimension des Raumes, in den das Objekt eingebettet ist, gibt es einen beschränkten Teil des Objekts, dessen Bilder den gesamten Raum ausfüllen. Dieser Teil heißt Zelle.

Ist die Gruppe zusätzlich diskret, spricht man von einer Raumgruppe und nennt das Muster periodisch. Dann gibt es einen beschränkten Fundamentalbereich mit derselben Dimension wie der Raum; in der Ebene ist dies eine entsprechende von null verschiedene Fläche.

Klassifikation in der euklidischen Ebene

Die Symmetriegruppen der euklidischen Ebene werden zunächst danach unterschieden, ob sie diskret sind, Verschiebungen oder Achsenspiegelungen enthalten.

Bei diskreten Gruppen ohne Verschiebungen und ohne Achsenspiegelungen erhält man die endlichen zyklischen Gruppen Cₙ für n = 1, 2, … . Sie bestehen aus Drehungen um einen Punkt um Vielfache von 360°/n. Beispiele sind C₁ als Symmetriegruppe eines vollständig unsymmetrischen Objekts mit der Identität als einzigem Element, C₂ als Symmetriegruppe einer Punktspiegelung, C₃ als Symmetriegruppe einer Triskele und C₄ als Symmetriegruppe einer Swastika.

Diskrete Gruppen ohne Verschiebungen, aber mit Achsenspiegelungen bilden die Diedergruppen Dₙ für n = 1, 2, … . Sie enthalten die Drehungen von Cₙ sowie n Spiegelachsen durch den Mittelpunkt. D₁ beschreibt eine einzelne Achsenspiegelung. D₂ ist die Symmetriegruppe eines nicht quadratischen Rechtecks oder einer nicht quadratischen Raute und ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Dₙ ist die Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks.

Enthält eine diskrete Gruppe nur kollineare Verschiebungen, also Verschiebungen, deren Spann beziehungsweise Span Rang 1 hat, gehört sie zu den 7 Friesgruppen. Bei mindestens zwei linear unabhängigen Verschiebungen gibt es 17 ebene kristallographische Gruppen.

Nicht diskrete Gruppen ohne Verschiebungen bilden die orthogonale Gruppe O(2). Sie umfasst alle Symmetrien eines Kreises, also alle Drehungen und alle Spiegelungen an Achsen durch den Mittelpunkt. Bei nicht diskreten Gruppen mit Verschiebungen ergibt sich ohne Spiegelungen die Gruppe E⁺(2) der eigentlichen Bewegungen der Ebene; mit Spiegelungen erhält man die euklidische Gruppe E(2).

Andere Dimensionen

Dreidimensionale Punktgruppen werden in einem eigenen Artikel ausführlich klassifiziert. Der Artikel über Raumgruppen behandelt außerdem Symmetriegruppen und Raumgruppen in verschiedenen Dimensionen.