Stern (Geometrie)

Begriff, Aufbau und Symmetrie

Ein regelmäßiger Stern ist ein meist nichtkonvexes regelmäßiges Polygon: Seine Kanten sind gleich lang; aufgrund von Spiegel- und Rotationssymmetrie sind außerdem alle gleich gelagerten Winkel, Längen und Flächen gleich. Insbesondere sind alle Seitenlängen und Innenwinkel gleich. Mittelpunkt von Umkreis und Inkreis ist derselbe Symmetriepunkt.

In der kombinatorischen Geometrie heißt ein solcher überschnittener, nichtkonvexer ebener regelmäßiger Vieleckzug Sternpolygon, wenn die Geraden seiner Kanten jeweils durch zwei konvexe äußere Ecken gehen. „Überschlagen“ bedeutet, dass sich Seiten im Innern schneiden dürfen. Davon sind Sterngebiete aus Topologie und Analysis zu unterscheiden: Sie können auch konvex und nicht polygonal sein.

Ein regelmäßiger {p/q}-Stern entsteht aus einem regelmäßigen p-Eck: Von jeder Ecke verbindet man jeweils die Ecke mit Indexdifferenz q und setzt dies fort. Dabei gilt 2 ≤ q ≤ ⌊(p−1)/2⌋; die p Eckpunkte teilen den Umkreis in gleich große Bögen. Sind p und q teilerfremd, ist der Stern zusammenhängend und in einem Zug zeichnbar, also ein Sternpolygon. Andernfalls zerfällt er in ggT(p,q) regelmäßige Polygone mit jeweils p/ggT(p,q) Ecken. Für primzahliges p sind alle {p/q}-Sterne zusammenhängend. Die Anzahl zusammenhängender Sternpolygone für gegebenes p ist φ(p)/2−1, mit der Eulerschen Phi-Funktion φ.

Die Symmetriegruppe eines regulären {p/q}-Sterns ist die Diedergruppe Dₚ der Ordnung 2p: Sie enthält p Rotationen und p Spiegelungen. Bei geradem p verlaufen je die Hälfte der Achsen durch gegenüberliegende Ecken beziehungsweise durch Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten; bei ungeradem p durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jeder reguläre Stern mit gerader Eckenzahl ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.

Winkel und grundlegende Längen

Die benachbarten Eckpunkte auf dem Umkreis erscheinen unter dem Mittelpunktswinkel μ = 360°/p = 2π/p. Verbindet man diese benachbarten Punkte, erhält man ein regelmäßiges p-Eck. Seine von einer Ecke ausgehenden Diagonalen schließen jeweils den Winkel π/p ein.

Der Innenwinkel eines regelmäßigen {p/q}-Sterns ist α = (p−2q)·π/p = π−2qπ/p. Zwischen zwei benachbarten Sternseiten teilen Diagonalen diesen Innenwinkel in p−2q gleiche Winkel der Größe π/p. Jede Sternseite wird von 2q−2 anderen Seiten geschnitten. Insgesamt gibt es p(q−1) Schnittpunkte. Die möglichen Schnittwinkel sind 2mπ/p und π−2mπ/p mit 0 < m < q.

Die Größen lassen sich aus einem gleichschenkligen Bestimmungsdreieck bestimmen. Es hat die Schenkel rᵤ (Umkreisradius), die Basis a (Seitenlänge), die Höhe rᵢ (Inkreisradius), den Spitzenwinkel qμ und Basiswinkel α/2. Der Inkreis berührt die Seiten in ihren Mittelpunkten. Es gilt: a = 2rᵤ·sin(qπ/p) = 2rᵢ·tan(qπ/p), rᵤ = (a/2)·csc(qπ/p) = rᵢ·sec(qπ/p), rᵢ = (a/2)·cot(qπ/p) = rᵤ·cos(qπ/p). Haben p und q einen gemeinsamen Teiler m, gelten dieselben Längenverhältnisse wie beim {p/m)/(q/m)}-Stern.

Beispiele: Beim Pentagramm {5/2} sind μ = 72° und α = 36°, die Schnittwinkel 72° und 108°. Beim {8/2}-Stern beträgt α = 90°, beim {8/3}-Stern α = 45°.

Schnittpunkte, Umfang und Flächen

Jede der p Seiten ist durch ihre 2q−2 Schnittpunkte in 2q−1 Abschnitte zerlegt. Vom Seitenmittelpunkt bis zum m-ten Schnittpunkt oder Endpunkt gilt für 0 < m ≤ q: aₘ = rᵢ·tan(mπ/p) = rᵤ·cos(qπ/p)·tan(mπ/p). Die Länge des anschließenden Abschnitts ist sₘ = rᵤ·cos(qπ/p)·[tan(mπ/p)−tan((m−1)π/p)]. Der Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt lautet rₘ = rᵢ·sec(mπ/p) = rᵤ·cos(qπ/p)·sec(mπ/p). Für festes m liegen die entsprechenden Punkte wegen der Symmetrien auf einem Kreis mit Radius rₘ.

Nur die zwei äußeren Abschnitte jeder Seite gehören zum Umfang des geometrischen Sterns. Daher: U = 2p·s_q = 2p·rᵤ·cos(qπ/p)·[tan(qπ/p)−tan((q−1)π/p)]. Der überdeckte Flächeninhalt ergibt sich aus dem äußeren regelmäßigen p-Eck minus p gleichschenkligen Dreiecken: A = p·rᵤ²·sin(π/p)·[cos(π/p)−sin(π/p)·tan((q−1)π/p)]. Das äußere p-Eck besitzt den Flächeninhalt p·rᵤ²·sin(π/p)·cos(π/p). Das innere p-Eck hat die Seitenlänge 2rᵤ·cos(qπ/p)·tan(π/p) und den Flächeninhalt p·rᵤ²·cos²(qπ/p)·tan(π/p).

Bei rᵤ = 1 hat das Pentagramm {5/2} den Umfang 7,265425280 und den Flächeninhalt 1,122569941. Für {8/3} sind es 8,659137602 beziehungsweise 1,656854249.

Teilflächen und Koordinaten

Die Fläche eines {p/q}-Sterns zerfällt in ein inneres regelmäßiges p-Eck, p gleichschenklige Dreiecke und p(q−2) Drachenvierecke. Zwei innere Abschnitte s₁ bilden eine Seite des inneren p-Ecks. Die Dreiecke haben Seitenlängen 2s₁, s₂ und s₂. Ein Drachenviereck der Stufe m hat jeweils zwei benachbarte Seiten der Längen sₘ₋₁ und sₘ.

Die inneren 2m Abschnitte bilden einen regelmäßigen {p/m}-Stern mit Seitenlänge 2aₘ und Umkreisradius rₘ. Der Flächeninhalt dieses inneren {p/m}-Sterns ist p·rᵤ²·cos²(qπ/p)·sin(π/p)·sec((m−1)π/p)·sec(mπ/p). Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ergibt sich als ein p-tel der Differenz zweier aufeinanderfolgender solcher Sternflächen. Er kann auch aus seinen Diagonalen berechnet werden: Eine Diagonale hat die Länge rₘ−rₘ₋₂, die dazu senkrechte 2rₘ₋₁·sin(π/p).

Für kartesische Koordinaten mit Mittelpunkt im Ursprung und Umkreisradius rᵤ lauten die Eckpunkte P_k = (rᵤ·cos(2kπ/p), rᵤ·sin(2kπ/p)), k = 1,2,…,p. Eine Sternseite verbindet P_k mit P_k+q; ihre Länge ist a = 2rᵤ·sin(qπ/p). In Polarkoordinaten haben die Eckpunkte die Form (rᵤ, 2kπ/p). Schnittpunkte liegen auf Kreisen mit Radius rₘ = rᵤ·cos(qπ/p)·sec(mπ/p); ihr Winkel hängt davon ab, ob q−m gerade oder ungerade ist.

Deutungen, Grenzwerte und Graph

Ein Sternpolygon ist zunächst ein graphentheoretisches Objekt, das in die euklidische Ebene eingebettet wird. Deshalb sind verschiedene geometrische Deutungen möglich, etwa ein flächenloses Sternpolygon oder Sterne mit anders festgelegten Kanten und Flächen. Für einen solchen geometrischen Stern mit halbem Mittelpunktswinkel π/p, Umkreisradius rᵤ, innerem Radius r₁ und halbem Spitzenwinkel α/2 gilt r₁/rᵤ = sin(α/2)/sin(α/2+π/p). Seine Kantenlänge ist √(rᵤ²−2rᵤr₁·cos(π/p)+r₁²), sein Flächeninhalt p·rᵤr₁·sin(π/p). Bei rᵤ = 2r₁ und großer Eckenzahl ist α ≈ 2π/p.

Für p → ∞ bei konstantem q nähert sich der {p/q}-Stern bei festem rᵤ einem Kreis: U/rᵤ → 2π, die Summe der Seitenlängen geteilt durch rᵤ → 2qπ, A/rᵤ² → π und rᵢ → rᵤ. Ist dagegen q = cp+d mit 0 < c ≤ 1/2, so nähert sich der Umfang 2πrᵤ·sec(cπ). Für c = 1/4, d = 0, also {4/1}, {8/2}, {12/3}, …, ist dies 2√2πrᵤ. Für den Flächeninhalt gilt bei c < 1/2 der Grenzwert πrᵤ²; bei c = 1/2 lautet er πrᵤ²·(1−1/(1−d)). Beispielsweise ergibt sich für {5/2}, {7/3}, {9/4}, … mit d = −1/2 der Wert πrᵤ²/3.

Als ebener Graph besitzt der Stern p Eckpunktknoten und p(q−1) Schnittpunktknoten, also E = pq Knoten. Es gibt K = p(2q−1) Kanten und nach dem Eulerschen Polyedersatz F = K−E+2 = pq−p+2 Flächen einschließlich der Außenfläche. Die ursprünglichen Eckpunkte haben Grad 2, Schnittpunkte Grad 4. Da alle Knotengrade gerade sind, besitzt der Graph Eulerkreise.