Flächeninhalt

Grundbegriff und Messung

Der Flächeninhalt A ist ein Maß für die Größe einer zweidimensionalen geometrischen Figur. Dazu gehören ebene Figuren wie Rechtecke, Polygone, Kreise und Ellipsen sowie Begrenzungsflächen räumlicher Körper wie Würfel, Kugeln und Zylinder. Zwei Flächen mit demselben Flächeninhalt heißen flächengleich.

Der Flächeninhalt wird durch das Einheitsquadrat normiert: Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 hat den Flächeninhalt 1; bei einer Seitenlänge von 1 m beträgt er 1 m². Kongruente, also deckungsgleiche Flächen müssen denselben Flächeninhalt besitzen. Bei einer zusammengesetzten Fläche ist der Gesamtinhalt die Summe der Inhalte ihrer Teilflächen.

Die SI-Einheit ist der Quadratmeter m², im cgs-System der Quadratzentimeter cm². Die physikalische Dimension lautet L². Im Planck-System dient die Planck-Fläche ħ·G·c⁻³ als Einheit.

Flächeninhalte werden meist indirekt bestimmt: Man misst Längen und setzt sie in geometrische Formeln ein. Komplexe Flächen können aus einfacheren Figuren zusammengesetzt oder durch solche angenähert werden. Technisch lassen sie sich auch mit einem Planimeter bestimmen, das beim Umfahren des Randes Flächenelemente fortlaufend summiert. Eine ältere Methode bestand darin, eine Papierfläche auszuschneiden, sie zu wiegen und ihr Gewicht mit dem eines gleichartigen Papierstücks bekannter Fläche zu vergleichen.

Flächenangaben sind im Alltag, in Mathematik und Physik wichtig. Sie machen etwa Grundstücks- und Wohnungsgrößen vergleichbar und helfen, den Bedarf an Saatgut oder Farbe abzuschätzen.

Ebene Figuren und Polygone

Wichtige Formeln für ebene Figuren sind:

• Rechteck mit Seiten a und b: A = a·b. • Dreieck mit Grundseite g und Höhe h: A = g·h/2. Mit zwei Seiten a, b und eingeschlossenem Winkel γ gilt A = ½ab·sin(γ). Nach der Heronschen Formel ist A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) mit s = ½(a+b+c). • Gleichschenkliges Dreieck mit gleichen Seiten a und Basis c: A = c/4·√(4a²−c²). • Gleichseitiges Dreieck: A = √3/4·a². • Trapez mit parallelen Seiten a und c sowie Höhe h: A = (a+c)·h/2. • Raute mit Diagonalen d₁ und d₂: A = d₁·d₂/2. • Parallelogramm: A = a·hₐ. • Reguläres Sechseck: A = 3√3/2·a². • Kreis mit Radius r und Durchmesser d: A = πr² = πd²/4. • Ellipse mit Halbachsen a und b: A = πab.

Für ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten, Seitenlänge a, Umfang U = na, Inkreisradius r und Umkreisradius R gelten unter anderem A = n·ar/2 = Ur/2, A = ¼na²·cot(π/n), A = nr²·tan(π/n) und A = ½nR²·sin(2π/n).

Ein beliebiges Polygon kann trianguliert werden: Man zerlegt es durch Diagonalen in Dreiecke, berechnet deren Inhalte und addiert sie. Sind die Eckpunkte (xᵢ,yᵢ), i = 1,…,n, bekannt, verwendet man die Gaußsche Trapezformel A = ½∑ᵢ₌₁ⁿ(yᵢ+yᵢ₊₁)(xᵢ−xᵢ₊₁), wobei xₙ₊ⱼ = xⱼ und yₙ₊ⱼ = yⱼ gilt. Je nach Umlaufrichtung kann das Ergebnis negativ sein; dann ist gegebenenfalls sein Betrag zu nehmen. Für Polygone mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der Satz von Pick anwenden. Andere Flächen können häufig durch Polygone angenähert werden.

Oberflächen räumlicher Körper

Für typische Körper gelten folgende Oberflächenformeln:

• Würfel: A = 6a². • Quader: A = 2(ab+ac+bc). • Tetraeder: A = √3·a². • Kugel: A = 4πr² = πd². • Zylinder: A = 2πr(r+h). • Kegel: A = πr(r+√(r²+h²)). • Torus: A = 4π²Rr.

Oberflächen werden häufig in die Ebene „abgerollt“ oder „abgewickelt“. Dabei sucht man eine ebene Darstellung, die den Flächeninhalt bewahrt. Das ist nicht bei allen Oberflächen möglich; eine Kugel lässt sich beispielsweise nicht auf diese Weise flächentreu abwickeln. Dann werden Methoden der Analysis verwendet. Für die durch Rotation des Graphen von f um die x-Achse entstehende Rotationsfläche gilt A = 2π∫ₐᵇ f(x)√(1+[f′(x)]²) dx. Beim Torus kann auch die erste Guldinsche Regel rasch zum Ergebnis führen.

Integralrechnung und allgemeine Flächenmaße

Die Integralrechnung bestimmt unter anderem Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x-Achse. Dazu wird die Fläche zunächst durch schmale Rechtecke angenähert. In einem Grenzprozess lässt man deren Breite gegen 0 gehen. Auf einem beschränkten Intervall [a,b] reicht die Stetigkeit der Funktion aus, um die Konvergenz dieses Verfahrens zu sichern. Für f(x) ≥ 0 gilt A = ∫ₐᵇ f(x) dx.

Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in das Integral ein. Soll der geometrische Flächeninhalt berechnet werden, muss daher der Betrag der Funktion verwendet werden. Bei unendlichen Intervallgrenzen werden zunächst Integrale mit endlichen Grenzen berechnet; anschließend lässt man a gegen −∞, b gegen +∞ oder beide Grenzen entsprechend streben. Dieser weitere Grenzprozess muss nicht konvergieren, etwa bei oszillierenden Funktionen wie der Sinusfunktion. Auch bei nichtnegativen Funktionen kann der Flächeninhalt unendlich sein.

Eine unendlich ausgedehnte Fläche kann dennoch einen endlichen Inhalt besitzen, wenn sich der Graph ausreichend schnell der x-Achse nähert. Ein wichtiges Beispiel ist die gaußsche Glockenkurve f(x) = 1/√(2π)·e^(−x²/2). Die Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse reicht von −∞ bis +∞, hat aber den Flächeninhalt 1.

Nicht jeder Teilmenge der Ebene kann sinnvoll ein Flächeninhalt zugeordnet werden. Für viele Mengen lässt sich der Begriff präzise als zweidimensionaler Jordan-Inhalt oder umfassender als Lebesgue-Maß im ℝ² definieren. Diese Begriffe hängen eng mit dem zweifachen Riemann- beziehungsweise Lebesgue-Integral zusammen.

Gekrümmte Flächen und Physik

In der Differentialgeometrie wird der Inhalt einer ebenen oder gekrümmten Fläche F mit Koordinaten (u,v) durch das Flächenintegral ∬F dσ berechnet. Das Flächenelement dσ beschreibt den Inhalt des kleinen Parallelogramms, das die Tangenten an die Koordinatenlinien mit den Seitenlängen du und dv aufspannen. Es hängt vom Koordinatensystem und von der Gaußschen Krümmung ab. In kartesischen Koordinaten gilt dσ = dx·dy.

Auf einer Kugel mit Radius r und den Koordinaten Länge L und Breite B lautet das Flächenelement dσ = r²cos(B) dB dL. Für −π/2 ≤ B ≤ π/2 und −π ≤ L ≤ π ergibt die Integration A = r²∫₋π^π∫₋π/2^π/2 cos(B) dB dL = 4πr². Das Flächenelement kann allein aus Messungen innerhalb der Fläche bestimmt werden und gehört daher zur inneren Geometrie. Bei abwickelbaren Flächen erklärt dies, warum der Flächeninhalt beim Abwickeln erhalten bleibt.

In der Physik tritt Fläche in zahlreichen Größen auf: Druck ist Kraft pro Fläche, Intensität Energie pro Zeit und Fläche, das magnetische Moment einer Leiterschleife Strom mal umflossene Fläche, Oberflächenspannung die zur Flächenvergrößerung geleistete Arbeit pro zusätzlich entstandener Fläche, Oberflächenladungsdichte Ladung pro Fläche und Stromdichte Strom pro durchflossener Fläche.

Einer Fläche kann außerdem eine senkrechte Richtung zugewiesen werden. Dadurch entsteht ein orientierter Flächenvektor, dessen Länge den Flächeninhalt angibt. Für ein von den Vektoren a⃗ und b⃗ aufgespanntes Parallelogramm ist er a⃗ × b⃗. Bei gekrümmten Oberflächen beschreibt ein Normalenvektorfeld die lokale Richtung. Der Strom I durch eine Fläche A ergibt sich aus der Stromdichte J⃗ durch I = ∫A J⃗·dA⃗.

Experimentell bestimmte Streu- oder Wirkungsquerschnitte besitzen ebenfalls die Dimension einer Fläche. Ein Wirkungsquerschnitt beschreibt das gemessene Streuverhalten eines Teilchenstroms an einem Target. Weil dabei außer der Geometrie auch Wechselwirkungen eine Rolle spielen, muss er nicht dem geometrischen Querschnitt der Teilchen entsprechen.

Flächen im Vermessungswesen

Grundstücke, Länder und andere unregelmäßige Gebiete lassen sich meist nicht direkt mit Formeln einfacher Figuren berechnen. Man verwendet graphische oder halbgraphische Verfahren, Feldmaße oder Koordinaten.

Bei graphischen Verfahren wird eine kartierte, polygonal begrenzte Fläche in Dreiecke oder Trapeze zerlegt. Grundlinien und Höhen werden aus der Karte gemessen, die Teilflächen berechnet und addiert. Beim halbgraphischen Verfahren wird die Fläche in schmale Dreiecke geteilt, deren kurze Grundseiten direkt im Feld genau gemessen werden. Weil der relative Fehler des Flächeninhalts hauptsächlich vom relativen Fehler dieser kurzen Grundseite abhängt, ist dieses Verfahren genauer als eine ausschließlich graphische Auswertung.

Eine Quadratglastafel trägt ein Gitter aus Quadraten bekannter Seitenlänge, beispielsweise 1 Millimeter. Sie wird auf die Karte gelegt; anschließend zählt man die innerhalb der Grenze liegenden Quadrate. Für langgestreckte Flächen eignet sich eine Planimeterharfe mit parallelen Linien gleichen Abstands. Sie zerlegt die Fläche in Trapeze. Aus der Summe ihrer Mittellinien und dem Linienabstand wird der Inhalt berechnet.

Bei krummlinigen Grenzen kann ein Planimeter verwendet werden. Sein Fahrstift wird entlang des Randes geführt; dabei dreht sich eine Rolle, und ein Zählwerk zeigt die Fläche an. Die Genauigkeit hängt davon ab, wie genau der Rand nachgefahren wird. Das Ergebnis wird genauer, wenn der Umfang im Verhältnis zum Flächeninhalt klein ist.

Sind die erforderlichen Strecken im Feld gemessen, kann die Fläche aus Dreiecken und Trapezen berechnet werden. Heute erfolgt die Bestimmung häufig aus den Koordinaten von Grenzpunkten eines Liegenschaftskatasters oder von Eckpunkten in einem Geoinformationssystem. Bei geradlinigen Grenzen eignet sich die Gaußsche Trapezformel. Bei Kreisbögen müssen zusätzlich die Kreissegmente zwischen Polygonseite und Bogen berücksichtigt werden. Sehr unregelmäßige Grenzen können durch Polygone mit kurzen Seiten angenähert werden.