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Parkettierung
In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung oder Flächenschluss) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der …
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Begriff und Grundregeln
Eine Parkettierung, auch Kachelung, Pflasterung oder Flächenschluss, ist die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der euklidischen Ebene durch Teilflächen. Sie wird meist mit einem oder mehreren einfachen Polygonen aufgebaut. Bei technischen Aufteilungen, etwa eines Blechs in Werkstücke, kann das Ziel sein, verschiedene ungleiche Teilflächen so anzuordnen, dass kein Abfall entsteht.
Eine Kachel ist eine abgeschlossene topologische Scheibe in der Ebene. Damit sind insbesondere Kacheln mit Löchern oder nicht zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen, auch wenn gelegentlich allgemeinere Kacheln zugelassen werden. Eine Parkettierung ist eine abzählbare Menge von Kacheln, die zugleich Packung und Überdeckung ist: Kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln; verschiedene Kacheln haben also höchstens Randpunkte gemeinsam. Zugleich gehört jeder Punkt der Ebene zu mindestens einer Kachel.
Oft fordert man zusätzlich, dass Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind, also insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend. Oder jede Kachel muss kongruent zu einer von endlich vielen Proto-Kacheln sein. Sind alle Kacheln kongruent, heißt die Parkettierung monohedral. Dann kann jede einzelne Kachel als Protokachel dienen; man sagt auch, diese Protokachel „parkettiert“.
Periodizität und regelmäßige Muster
Eine Symmetrie einer Parkettierung ist eine Kongruenzabbildung der Ebene, die jede Kachel wieder auf eine Kachel abbildet. Alle Symmetrien bilden die Symmetriegruppe, eine Untergruppe von E(2). Enthält sie zwei linear unabhängige Verschiebungen, ist die Parkettierung periodisch. Ihre Symmetriegruppe ist dann eine ebene kristallographische Gruppe; davon gibt es genau 17 Tapetenmustergruppen.
Stoßen an einem Knotenpunkt k regelmäßige Vielecke mit Eckenzahlen n₁ bis nₖ zusammen, müssen ihre Innenwinkel 360° ergeben. Daher gilt: 1/n₁ + 1/n₂ + … + 1/nₖ = k/2 − 1. Die 17 möglichen Eckkombinationen sind für k = 3: (3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), (3,12,12), (4,5,20), (4,6,12), (4,8,8), (5,5,10), (6,6,6); für k = 4: (3,3,4,12), (3,3,6,6), (3,4,4,6), (4,4,4,4); für k = 5: (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4); für k = 6: (3,3,3,3,3,3).
Bei einer Kante-an-Kante-Anordnung aus nur einem regelmäßigen Polygon gibt es genau drei platonische Parkettierungen: Dreiecks-, Quadrat- und Sechseckgitter; das Sechseckgitter heißt auch Bienenwabenmuster. Johannes Kepler erkannte sie als Analoga zu den regulären Polyedern.
Archimedische, semireguläre und duale Muster
Archimedische, semireguläre oder 1-uniforme Parkettierungen verwenden regelmäßige n-Ecke gleicher Kantenlänge, liegen Kante an Kante und haben an jedem Knotenpunkt dieselbe Kombination von Vielecken in gleicher Reihenfolge. Neben den platonischen gibt es genau acht: zwei aus Dreiecken und Quadraten, zwei aus Dreiecken und Sechsecken sowie je eine aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken; aus Dreiecken und Zwölfecken; aus Achtecken und Quadraten; und aus Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken. Die Knotentypen sind 3-3-3-4-4, 3-3-4-3-4, 3-6-3-6, 3-3-3-3-6 (zwei gespiegelte Varianten), 3-4-6-4, 3-12-12, 4-8-8 und 4-6-12.
Semireguläre oder 2-uniforme Parkettierungen erfüllen ebenfalls die Kante-an-Kante-Regel mit regelmäßigen, gleich langen Vielecken, doch treten an Knotenpunkten zwei mögliche Kombinationen auf. Es gibt insgesamt 20. Genannte Beispiele haben etwa die Knotentyp-Paare 3-3-4-3-4 und 3-3-3-3-3-3, 3-3-6-6 und 3-3-3-3-3-3, 3-3-6-6 und 3-6-3-6 oder 3-4-4-6 und 3-6-3-6.
Jede platonische Parkettierung ist dual zu einer anderen platonischen; jede archimedische zu einer dual-archimedischen aus kongruenten Polygonen. Deren Ecken sind die Mittelpunkte der ursprünglichen Polygone. Ihre Kanten verbinden benachbarte Mittelpunkte, halbieren die ursprünglichen Kanten und schneiden diese orthogonal. Seitenlängen sind Summen benachbarter Inkreisradien; der Inkreisradius beträgt die halbe ursprüngliche Kantenlänge, und die Innenwinkel sind 360°/n.
Homogenität und weitere Kachelformen
Eine homogene Parkettierung besteht aus regelmäßigen Polygonen, die sich an Seiten berühren und gemeinsame Knotenpunkte besitzen. An jedem Knotenpunkt muss dieselbe Anordnung von Vielecken zusammentreffen; solche Knotenpunkte heißen kongruent. Platonische und archimedische Parkettierungen sind daher homogen. Nicht homogen ist etwa eine ziegelmauerähnliche Parkettierung ohne gemeinsame Knotenpunkte. Auch eine Anordnung aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten und regelmäßigen Zwölfecken ist nicht homogen, wenn bei einem Knoten Dreieck-Dreieck-Quadrat-Zwölfeck, bei einem anderen aber sechs Dreiecke liegen.
Bei einer Parkettierung aus Quadraten und Parallelogrammen bilden die Mittelpunkte der auf den Parallelogrammseiten errichteten Quadrate die Ecken eines neuen Quadrats. Die Anordnung kann daher mit einer Quadratparkettierung überdeckt werden. Entsprechend entstehen bei einem Sehnenviereck, über dessen Seiten Rechtecke mit gegenüberliegenden Seitenlängen errichtet werden, aus den Diagonalenschnittpunkten dieser Rechtecke die Ecken eines weiteren Rechtecks.
Die Ebene lässt sich mit kongruenten Vierecken jeder Form parkettieren, also auch mit konvexen oder konkaven. Sind die Seiten eines Parallelogramms parallel und gleich lang zu den Diagonalen eines Vierecks, ist die Flächenmaßzahl des Parallelogramms doppelt so groß wie die des Vierecks. Weitere Beispiele sind Cairo tiling mit Fünfecken sowie die Grazebrook-Parkettierung mit Sechs- und Fünfecken. Auch Kreisteile können parkettieren: Der von drei Kreisen begrenzte Bereich, deren Mittelpunkte drei Ecken eines Quadrats sind und die durch dessen Diagonalenschnittpunkt verlaufen, ist flächengleich zum Quadrat.
Isohedralität und Aperiodizität
Eine monohedrale Parkettierung heißt isohedral, wenn es zu je zwei Kacheln eine Kongruenzabbildung gibt, die eine auf die andere abbildet und die gesamte Zerlegung unverändert lässt. Die Gruppe der Kongruenzabbildungen wirkt dann transitiv, die Parkettierung besteht also aus einer Bahn. Gibt es k Bahnen, heißt sie k-isohedral; bei k > 1 wird sie gelegentlich anisohedral genannt.
Eine Kachel ist k-anisohedral oder hat die isohedrale Zahl k, wenn sie eine k-isohedrale, aber keine m-isohedrale Parkettierung für m < k besitzt. Das (3:1)-Rechteck hat die isohedrale Zahl 1, weil es auch isohedrale Parkettierungen besitzt. Manche Kacheln parkettieren zwar, erlauben aber keine transitive Parkettierung. Beim Pflasterstein von Heinrich Heesch sind gespiegelte Kacheln für die Parkettierung nötig, können aber nicht durch eine Symmetrie der gesamten Zerlegung in die anderen Kacheln überführt werden.
Ein Satz von Proto-Kacheln heißt aperiodisch, wenn er ausschließlich nichtperiodische Überdeckungen zulässt; nach neuester Definition bezieht sich dies nur auf Kachelsätze. Wiederholen sich beliebig große Ausschnitte, ohne dass die gesamte Parkettierung periodisch ist, heißt sie quasiperiodisch. Beispiele sind die Penrose-Parkettierungen P1, P2 und P3. 2023 wurde eine aperiodische einzelne Protokachel, eine aperiodische Monokachel, entdeckt; ihre Existenz war seit Penroses Veröffentlichungen in den 1970er-Jahren ein offenes Problem.
Raumfüllungen
Die dreidimensionale Entsprechung einer ebenen Parkettierung heißt Raumfüllung: Polyeder füllen den Raum lückenlos. Genau fünf konvexe Polyeder, die nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden, können den Raum mit kongruenten Polyedern einer Art füllen: Würfel, dreieckiges reguläres Prisma, sechseckiges reguläres Prisma, verdrehter Doppelkeil (Johnson-Körper J₂₆) und Oktaederstumpf. Unter den catalanischen Körpern ist nur das Rhombendodekaeder raumfüllend.
Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow klassifizierte 1885 die raumfüllenden Paralleloeder, also Polyeder, die durch Translation ineinander überführt werden können. Im dreidimensionalen Raum fand er fünf affine Typen konvexer Paralleloeder: Parallelepiped, hexagonales Prisma, Rhombendodekaeder, verlängertes Rhombendodekaeder und Oktaederstumpf.
