Umkreis

Grundidee und Existenz

Ein Umkreis ist in der ebenen Geometrie ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons, also eines Vielecks, geht. Er ist wichtig, weil er die Eckpunkte einer Figur durch einen gemeinsamen Abstand zu einem Mittelpunkt beschreibt. Dieser Mittelpunkt heißt Umkreismittelpunkt, der Abstand zu den Eckpunkten heißt Umkreisradius.

Nicht jedes Polygon besitzt einen Umkreis. Für ein konvexes Polygon gilt allgemein: Es besitzt genau dann einen Umkreis, wenn die Mittelsenkrechten aller Seiten einander in einem Punkt schneiden. Eine Mittelsenkrechte ist die Gerade, die eine Strecke in ihrer Mitte rechtwinklig schneidet. Wenn es diesen gemeinsamen Schnittpunkt gibt, ist er der Mittelpunkt des Umkreises.

Dreieck

Beim Dreieck hat der Umkreis eine besonders große Bedeutung. Jedes nichtentartete Dreieck besitzt einen Umkreis. Nichtentartet bedeutet hier, dass die drei Eckpunkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Die Begründung beruht auf den Mittelsenkrechten: Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten der Seite [AB] sind von A und B gleich weit entfernt. Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten der Seite [BC] sind von B und C gleich weit entfernt. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist deshalb von A, B und C gleich weit entfernt. Zeichnet man um diesen Punkt einen Kreis durch eine Ecke des Dreiecks, liegen auch die beiden anderen Ecken auf diesem Kreis. Der Schnittpunkt liegt damit auch auf der dritten Mittelsenkrechten.

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks gehört zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. In der Kimberling-Bezeichnung trägt er die Nummer X_3.

Lage des Mittelpunkts

Die Lage des Umkreismittelpunkts hängt von der Art des Dreiecks ab.

Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Spitzwinklig bedeutet, dass alle Innenwinkel kleiner als 90° sind.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich der Umkreismittelpunkt. Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Dieser Zusammenhang steht mit dem Satz des Thales in Verbindung.

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Stumpfwinklig bedeutet, dass ein Innenwinkel größer als 90° ist.

Radius und Koordinaten

Der Umkreisradius eines Dreiecks kann mit dem Sinussatz berechnet werden:

r_u = a/(2·sin(α)) = b/(2·sin(β)) = c/(2·sin(γ)).

Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks. Die Winkel α, β und γ liegen jeweils den Seiten a, b und c gegenüber. Mithilfe der Höhen h_a, h_b und h_c gilt außerdem:

r_u = ab/(2h_c) = bc/(2h_a) = ca/(2h_b).

Für den Flächeninhalt A gilt:

r_u = (a·b·c)/(4·A).

Der Flächeninhalt A kann zum Beispiel mit der heronischen Formel berechnet werden. Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a ergibt sich als Spezialfall:

r_u = a/√3.

Auch die Koordinaten des Umkreismittelpunkts können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Sind die Eckpunkte (x_1,y_1), (x_2,y_2) und (x_3,y_3), dann lassen sich mit bestimmten Determinanten A, B, C und D die Werte x_u = B/(2A), y_u = -C/(2A) und der Radius r_u berechnen. Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ist A = 0; dann gibt es keine Lösung und damit keinen Umkreis des Dreiecks.

Ohne Determinanten kann man zuerst d = 2(x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)) berechnen. Daraus ergeben sich Formeln für x_u und y_u aus den Koordinatenquadraten x_i^2+y_i^2. Außerdem werden für den Umkreismittelpunkt trilineare Koordinaten, baryzentrische Koordinaten und die baryzentrische Gleichung des Umkreises angegeben: a^2yz + b^2xz + c^2xy = 0.

Weitere Dreieckseigenschaften

Der Umkreismittelpunkt kann auch über Inkreis und Ankreise beschrieben werden. Der Inkreis ist der Kreis, der alle Seiten eines Dreiecks berührt. Ankreise berühren jeweils eine Dreiecksseite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Für den Umkreismittelpunkt U gilt:

U = 1/4 · (I + I_a + I_b + I_c).

Dabei ist I der Inkreismittelpunkt und I_a, I_b, I_c sind die Mittelpunkte der drei Ankreise. Im Bevan-Dreieck △I_aI_bI_c ist I der Höhenschnittpunkt, die Punkte A, B und C sind dort Höhenfußpunkte, und U ist zugleich der Mittelpunkt des Feuerbachkreises dieses Bevan-Dreiecks.

Weitere Eigenschaften: Der Umkreismittelpunkt liegt zusammen mit dem Schwerpunkt und dem Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden. Nach dem Südpolsatz schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels immer auf dem Umkreis. Nach dem Satz von Euler beträgt die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt √(R(R-2r)); dabei ist R der Umkreisradius und r der Inkreisradius. Nach dem Satz von Carnot ist die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius. Außerdem stellt der Satz vom Dreizack einen Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis her. Der Umkreis ist auch der geometrische Ort aller Punkte, deren Orthogonalprojektionen auf die Dreiecksseiten kollinear sind.

In der synthetischen Geometrie heißt die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, Mittellotensatz. In allgemeineren affinen Ebenen ohne Abstandsbegriff und ohne Kreise ist dieser Satz äquivalent zum Höhenschnittpunktsatz.

Ein weiterer Zusammenhang betrifft ein orthozentrisches Quadrupel. Sind A, B, C die Eckpunkte eines Dreiecks und H sein Höhenschnittpunkt, dann haben die Dreiecke, die aus jeweils drei der vier Punkte A, B, C und H gebildet werden, kongruente Umkreise. Kongruent bedeutet hier: gleich groß und gleich geformt.

Andere Vielecke und Begriffe

Bei Polygonen mit mehr als drei Ecken existiert ein Umkreis nur in besonderen Fällen. Vierecke mit Umkreis heißen Sehnenvierecke. Spezialfälle sind gleichschenklige Trapeze, Rechtecke und Quadrate.

Jedes regelmäßige Polygon besitzt unabhängig von der Eckenzahl einen Umkreis. Ein regelmäßiges Polygon hat gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Für ein regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a gilt für den Umkreisradius:

R = a/(2 sin(180°/n)).

Verwandt mit dem Umkreis ist der Inkreis eines Vielecks. Er ist ein Kreis, der alle Seiten des Vielecks berührt. Beim Dreieck gehören Inkreis, Umkreis und die drei Ankreise zu den besonderen Kreisen der Dreiecksgeometrie.

Im dreidimensionalen Raum entspricht dem Umkreis die Umkugel. Eine Umkugel ist eine Kugel, auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders, also eines Vielflächners, liegen.