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Inkreis
In jedem Dreieck ist das Produkt aus seinem Umfang und seinem Inkreisradius doppelt so groß wie seine Fläche (siehe Figur 1), was – wie in der …
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Grundidee und allgemeine Formel
Der Inkreis eines Polygons, also eines Vielecks in der euklidischen Ebene, ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons von innen berührt. Er berührt dabei die Strecken zwischen den Eckpunkten, nicht die Verlängerungen der Seiten. Zugleich ist er der größte Kreis, der vollständig im Polygon liegt.
Ein Polygon besitzt nur dann einen Inkreis, wenn sich alle Winkelhalbierenden seiner Innenwinkel in einem Punkt schneiden. Dieser gemeinsame Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Inkreises. Wenn ein Polygon mit Flächeninhalt A und Umfang u einen Inkreis besitzt, dann gilt für den Inkreisradius r die Formel: r = 2A/u.
Inkreis im Dreieck
In der Dreiecksgeometrie ist der Inkreis besonders wichtig, weil jedes Dreieck einen Inkreis besitzt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt, dann berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.
Der Grund ist: Alle Punkte auf der Winkelhalbierenden des Winkels α = ∠BAC haben den gleichen Abstand von den Seiten [AB] und [CA]. Entsprechend haben alle Punkte auf der Winkelhalbierenden von β = ∠CBA den gleichen Abstand von [BC] und [AB]. Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat daher von allen drei Seiten [AB], [BC] und [CA] den gleichen Abstand und liegt deshalb auch auf der dritten Winkelhalbierenden.
Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen. Das unterscheidet ihn von den drei Ankreisen eines Dreiecks: Diese berühren jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Der Inkreismittelpunkt gehört zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks und hat die Kimberling-Nummer X₁.
Radius und Koordinaten im Dreieck
Ist A der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c, dann berechnet sich der Radius r des Inkreises durch r = A/s = 2A/(a + b + c) = √(((s − a)(s − b)(s − c))/s). Dabei ist s = (a + b + c)/2 = u/2 der halbe Umfang. Für die Berechnung des Flächeninhalts A wird dabei die Formel aus dem Satz des Heron verwendet.
Je nach gegebenen Größen kann der Radius auch mit Winkelhälften beschrieben werden: r = a/(cot(β/2) + cot(γ/2)) = b/(cot(α/2) + cot(γ/2)) = c/(cot(α/2) + cot(β/2)).
Die kartesischen Koordinaten des Inkreismittelpunktes ergeben sich als mit den Längen der gegenüberliegenden Seiten gewichtetes Mittel der Eckpunkt-Koordinaten. Liegen die Eckpunkte bei (xA/yA), (xB/yB) und (xC/yC), und haben die gegenüberliegenden Seiten die Längen a, b und c, dann liegt der Inkreismittelpunkt I(xI/yI) bei ((a xA + b xB + c xC)/(a + b + c) / (a yA + b yB + c yC)/(a + b + c)). In baryzentrischen Koordinaten lautet er (a:b:c), in trilinearen Koordinaten (1:1:1).
Weitere Eigenschaften im Dreieck
Die Entfernung zwischen der Ecke A und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich s − a, wobei s der halbe Umfang ist. Entsprechendes gilt für die Ecken B und C.
Die Geraden, die die Ecken des Dreiecks mit den jeweils gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises verbinden, schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Gergonne-Punkt. Außerdem stellt der Satz vom Dreizack einen Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis her.
Für jedes Dreieck gilt wie für jedes Tangentenvieleck: Das Produkt aus Umfang und Inkreisradius ist doppelt so groß wie die Fläche. In einem nicht-gleichseitigen Dreieck gilt zusätzlich eine besondere Eigenschaft: Wenn die Grundseitenlänge das arithmetische Mittel der beiden übrigen Seitenlängen ist, dann ist die Verbindungsgerade zwischen Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt parallel zur Grundseite.
Rechtwinkliges Dreieck
Bei einem rechtwinkligen Dreieck in der euklidischen Ebene lassen sich für den Inkreis genauere Formeln angeben. Haben die Katheten die Längen a und b und die Hypotenuse die Länge c, dann gilt für den Inkreisradius r: r = (a · b)/(a + b + c) = ab/(2s). Außerdem gilt r = (a + b − c)/2 = s − c.
Diese Formeln folgen aus den Eigenschaften des Inkreises im rechtwinkligen Dreieck. Eine Herleitung nutzt die Gleichung ab = r(a + b + c). Eine andere nutzt c = (a − r) + (b − r), woraus sich r = (a + b − c)/2 ergibt.
Der Berührpunkt des Inkreises auf der Hypotenuse zerlegt die Hypotenuse in zwei Teilstrecken mit x = s − a = b − r und y = s − b = a − r. Für den Flächeninhalt A des rechtwinkligen Dreiecks gilt dann A = (a · b)/2 = (s − a)(s − b) = (a − r)(b − r) = x · y.
Andere Vielecke
Bei Dreiecken existiert immer ein Inkreis. Bei Polygonen mit mehr als drei Ecken gilt das nur in besonderen Fällen.
Vierecke mit Inkreis heißen Tangentenvierecke. Dazu gehören alle konvexen Drachenvierecke, insbesondere alle Rauten und damit auch alle Quadrate.
Regelmäßige Polygone besitzen unabhängig von der Zahl ihrer Ecken immer einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen n-Ecks mit Seitenlänge a gilt: r = (a/2) cot(180°/n) = a/(2 tan(180°/n)).
