Spatprodukt

Grundidee und Berechnung

Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt, verknüpft drei Vektoren \vec a,\vec b,\vec c im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum \mathbb R^3. Es ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt der ersten beiden Vektoren und dem dritten Vektor:

(\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c.

Es beschreibt das orientierte Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist das gewöhnliche Volumen. Das Vorzeichen ist positiv, wenn die Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, und negativ bei einem Linkssystem. Liegen die Vektoren in einer Ebene, ist das Spatprodukt null.

Übliche Schreibweisen sind (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c, [\vec a,\vec b,\vec c], \langle\vec a,\vec b,\vec c\rangle und |\vec a\ \vec b\ \vec c|.

Für \vec a=(a_1,a_2,a_3)^T, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^T und \vec c=(c_1,c_2,c_3)^T gilt in einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem:

(\vec a,\vec b,\vec c)=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3-a_1b_3c_2-b_1c_3a_2-c_1a_3b_2.

Gleichwertig ist die Determinantenformel

(\vec a,\vec b,\vec c)=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}=\sum_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}a_i b_j c_k,

wobei \varepsilon_{ijk} das Levi-Civita-Symbol ist.

Volumen und Orientierung

Für den von \vec a,\vec b,\vec c aufgespannten Spat gilt

V=|(\vec a,\vec b,\vec c)|=|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c|.

Ohne Betrag erhält man das orientierte Volumen. Ein von denselben drei Vektoren aufgespanntes unregelmäßiges Tetraeder besitzt 1/6 des Spatvolumens.

Die Formel folgt aus V=A_g\cdot h: Der Betrag |\vec a\times\vec b| ist der Flächeninhalt A_g des von \vec a und \vec b gebildeten Parallelogramms. Das Kreuzprodukt ist zugleich ein Normalenvektor auf dessen Grundfläche. Die Höhe ist die Projektion von \vec c auf diese Normalenrichtung. Schließen \vec c und \vec a\times\vec b den Winkel \alpha ein, so ist h=|\vec c|\cos\alpha. Daher gilt

V=|\vec a\times\vec b|\,|\vec c|\cos\alpha=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c.

Bei \alpha=90^\circ ist das Volumen null: Die drei Vektoren sind dann komplanar, also in einer Ebene, und linear abhängig. Für \alpha>90^\circ ist das orientierte Volumen negativ.

Wichtige Rechenregeln

Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Zyklisches Vertauschen verändert seinen Wert jedoch nicht:

(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b.

Daher kann bei passender Klammerung auch geschrieben werden:

(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c).

Beim Vertauschen von genau zwei Vektoren wechselt dagegen das Vorzeichen, zum Beispiel

(\vec a,\vec b,\vec c)=-(\vec b,\vec a,\vec c).

Kommt ein Vektor mindestens zweimal vor, ist das Spatprodukt null, etwa (\vec a,\vec a,\vec b)=0, (\vec a,\vec b,\vec a)=0 und (\vec b,\vec a,\vec a)=0.

Es ist in jedem Vektor linear. Insbesondere gilt für \alpha\in\mathbb R:

(\alpha\vec a,\vec b,\vec c)=\alpha(\vec a,\vec b,\vec c),

sowie das Distributivgesetz

(\vec a,\vec b,\vec c+\vec d)=(\vec a,\vec b,\vec c)+(\vec a,\vec b,\vec d).

Außerdem lautet die Winkelbeschreibung:

(\vec a,\vec b,\vec c)=|\vec a\times\vec b|\,|\vec c|\cos\sphericalangle(\vec a\times\vec b,\vec c).

Verwandte Produkte

Beim doppelten Vektorprodukt, auch Vektortripelprodukt, wird ein Kreuzprodukt erneut gekreuzt. Die Graßmann-Identität lautet:

\vec a\times(\vec b\times\vec c)=(\vec a\cdot\vec c)\,\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\,\vec c.

Ebenso gilt

(\vec a\times\vec b)\times\vec c=(\vec a\cdot\vec c)\,\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\,\vec a.

Die erste Formel heißt auch BAC-CAB-Formel. In Indexschreibweise ist die zugrunde liegende Identität \sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}, wobei \delta_{ij} das Kronecker-Delta bezeichnet.

Das doppelte Spatprodukt zweier Vektortripel kann als Determinante der paarweisen Skalarprodukte geschrieben werden:

[ (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c ][(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w]=\det\begin{pmatrix}\vec a\cdot\vec u&\vec a\cdot\vec v&\vec a\cdot\vec w\\\vec b\cdot\vec u&\vec b\cdot\vec v&\vec b\cdot\vec w\\\vec c\cdot\vec u&\vec c\cdot\vec v&\vec c\cdot\vec w\end{pmatrix}.

Für zwei gleiche Tripel entsteht die Gram’sche Determinante. Sie ist das Quadrat des Spatvolumens und ist bei linear unabhängigen Vektoren größer null. Der Ausdruck lässt sich auf höherdimensionale euklidische Vektorräume verallgemeinern.

Anwendungen in Geometrie und Integralen

Drei Vektoren \vec a,\vec b,\vec c sind genau dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt verschwindet:

(\vec a,\vec b,\vec c)=0.

Das ist ein Test auf Komplanarität, weil in diesem Fall das aufgespannte Parallelepiped das Volumen null hat.

Beim Volumenintegral ist in kartesischen Koordinaten \mathrm dV=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz. Für andere Koordinaten (x',y',z') werden die lokalen Basisvektoren aus der Koordinatentransformation \vec r=(x,y,z)^T bestimmt:

\vec b_1=\frac{\partial\vec r}{\partial x'},\quad\vec b_2=\frac{\partial\vec r}{\partial y'},\quad\vec b_3=\frac{\partial\vec r}{\partial z'}.

Ihre Komponenten sind die Spalten der Jacobi-Matrix. Der Betrag ihres Spatprodukts ist der Betrag der Funktionaldeterminante. Damit lautet das Volumenelement:

\mathrm dV'=\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(x',y',z')}\right|\mathrm dx'\,\mathrm dy'\,\mathrm dz'.

Für Kugelkoordinaten gilt x=r\sin\theta\cos\varphi, y=r\sin\theta\sin\varphi, z=r\cos\theta. Die Funktionaldeterminante ist r^2\sin\theta; folglich lautet das Volumenelement

\mathrm dV=r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi.