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Spatprodukt Herleitung. Formel zur Volumenberechnung eines Spats
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 63 Zeilen
- in einer früheren videos mir gelernt wie man mit hilfe des vector produkt den flächen inhalt eines aus zwei vektoren aufgespannten parallelogramm vermitteln
- kann in diesem video lernen wir jetzt eine weitere coole anwendung kennen in der sowohl das wetter produkt als auch das
- scala produkt vorkommen in dieser kombination spricht man vom sogenannten spaltprodukt weil man damit das volumen eines aus drei vektoren aufgespannten
- spaß berechnen kann dabei erspart produktformen herleiten und uns dann ein anwendungsbeispiel anschauen
- okay das ist jetzt erspart ein sport ist sein körper der durch drei vektoren aufgespannt wird du solltest schon wissen dass ein
- parallelogramm durch zwei vektoren aufgespannt wird und wenn jetzt noch ein dritter faktor hinzu kommen der nicht nur gleichen
- ebene liegt kann man ein so genanntes spart aufspannen das so wie es jetzt hier aus sieht sogar ein schräger quader sein kann
- für die volumen- berechnung von körpern bei der die grundfläche identisch ist mit der dachfläche so wie es hier der fall ist und wo die grundfläche und die
- decke fläche parallel zueinander liegen so wie das hier ebenfalls der fall ist für solche körper gilt allgemein die volumen formel bei der man rechnet v das
- volumen ist gleich grundfläche mal höher eine grundfläche kinder ja schon es ist ja das parallelogramm das durch zwei vektoren aufgespannt wird
- und wie wir ihn im vorigen video schon gesehen haben können wir den flächen halt dieses parallelogramm es über den betrag des vector produkte auf
- spannenden vektoren kreuz bestimmen ok die grundfläche kennt jetzt aber wie kommen wir jetzt an die höhe des sports die höhere spaß entspricht ja die
- senkrecht gefällt die strecke von der decke fläche auf die grundfläche und von diesem punkt ausgehend können wir das ja hier nach unten zeichnen
- so die hülle verläuft ja senkrecht zudem parallelogramm überweg er noch eine weitere richtung die senkrecht zum parallelogramm steht und das ist der
- vector der durch das kreuz produkt von a kreuz berechnet wird denn das ist ja sozusagen einen normalen vector der gleichzeitig senkrecht auf a-
- und b- und damit zum parallelogramm steht und jetzt ist er eben halt auch parallel zu unserer höhe hahn wenn wir uns jetzt diese region hier näher
- anschauen dann sehen wir natürlich zum einen das haar und der vector paarkreuz b parallel zueinander verlaufen aber wir sehen auch dass hier ein rechtwinklige
- dreieck entsteht und dass der winkel better der hier zwischen dem vector c und dem vector kreuz b entsteht ebenfalls an dieser position auftritt
- weil eben halt dieser sektor und haar parallel zueinander verlaufen ok betrachten jetzt dieses rechtwinklige dreieck ein bisschen genauer und
- zeichnen es mal raus dann sieht das ja ungefähr so aus immer dieses dreieck hier in die zeichen fläche reinlegen hier ist der sektor c und diese seite
- hier entspricht ja der gesuchten höhe h war das jetzt ja ein rechtliches dreieck ist und der winkel better zwischen der hypothese und dieser an katheter hier
- liegt geht doch die beziehung cosinus beta ist lanka täte also h geteilt durch die hypothese und das ist also der betrag die länge des rektors c
- weil wir jetzt an der höhe h interessiert sind können wir diese gleichung nach h umstellen h ist leicht cosinus better mal den betrag von vector
- c was bringt uns das jetzt alles nun wir haben hier unten gesagt das volumen
- dieses sports ist grundfläche mal höher wir kennen schon die grundfläche des parallelogramm nämlich den betrag des rektors paarkreuz
- b und jetzt haben wir außerdem ein ausdruck für die höhe cosinus blätter mal betrag von web.de wenn wir uns das jetzt hier unten angucken was steht denn
- da hier steht betrag eines rektors der kreuz b ist natürlich ein vector und davon über den betrag also betrag eines rektors mal den betrag eines anderen
- victors mal den cosinus dass von diesen beiden toren eingeschlossenen winkels denn peter liegt hier zwischen am kreuz b und c
- aber das alles ist doch nichts anderes als die cosinus form des scala produktes dieser beiden vektoren ich sortiere das mal und damit uns besser sieht so und in
- dieser form haben wir hier das scala produkt dieser beiden sektoren stehen und weil hier der kursus von dem eingeschlossenen winkel vorkommt ist
- dass die cosinus form des kala produktes ich habe das hier noch mal allgemein an die seite für zwei sektoren omv und damit ich nicht hier auch von besser
- sprechen wenn ich diesen eingeschlossenen winkel jetzt mal gamma so das ist die cosinus form des scala produkt aber das ist doch identisch mit
- der koordinaten form des kala produkt dir einfach sich berechnet aus sektor mit dem dicken mal punkteskala produkt v aufgrund dieser beziehung zwischen den
- la stellungs formen des kaller produktes kann ich doch anstelle das zu schreiben genauso gut das schreiben und für unser problem bedeutet dass wir können diese
- gesamte rechte seite hier genauso gut wie folgt schreiben dass wir hier einmal das kreuz produkte kreuz b das ist der eine vector nehmen und dann
- skala multiplizieren mit dem anderen vector und dann brauchen wir den winkel better gar nicht mehr zu wissen sondern wir brauchen nur noch unsere drei
- vektoren und die haben wir ja gegeben wir haben hier also eine kombination von einem kreuz produkt der vektoren a und b die das parallelogramm hier unten
- aufspannen und davon 1 kalla produkt mit dem sektor c der je nach oben geht von oben betrachtet ist das natürlich ein scalar produkt und das liefert das
- ergebnis eine zahl welche gemäss unseren folgen überlegungen dem volumen des durch diese drei faktoren aufgespannten spaß entspricht das also ist unsere
- volumen formel für unser staat in abhängigkeit der drei sektoren und diese kombination von vector produkt oder kreuz produkt und scala produkt nennt
- man insgesamt spart produkt damit diese formel allerdings immer gilt muss man hier noch betrag striche außenrum setzen warum ist das so weil das scala produkt
- zweier vektoren kann natürlich auch negativ sein was der fall ist wenn der eingeschlossene winkel zwischen diesen beiden sektoren größer 90 grad ist in
- unserer abbildung ist das jetzt hier nicht der fall weil wir die vektoren jetzt sozusagen in der richtigen reihenfolge miteinander verrechnet haben
- wir schon beim kreuz produkt gelernt haben oder beim vector produkt hängt die richtung dieses normalen rektors davon ab wie wir mit b verrechnen rechnen wir
- kreuz b zeigt der vector in diese richtung würden wir aber b kreuz rechnen würde dieser sektor in die andere richtung zeigen leute jetzt hier nur die
- richtung an und dann würden wir ja als eingeschlossenen winkel diesen neben winkel hiervon besser betrachten was
- dann schließlich beim ausrechnen einen negativen wert liefern würde aber wenn wir den betrag nehmen kriegen wir nicht nur einen positiven wert den
- wir ja als volumen auch brauchen sondern wir sorgen automatisch dafür dass die betrachtung so getunt wird dass das unsere zeichnung hier entspricht dann
- kommt es doch gar nicht mehr auf die reihenfolge an in der wir diese vektoren hier auswählen und verrechnen weil wenn wir die reihenfolge dieser
- vektoren abc in dieser formel irgendwie vertauschen dann betrachten wir im prinzip das bildchen von einer anderen seite
- wir würden eine andere grundfläche auswählen und hätten dann natürlich eine andere höhe zu betrachten aber das volumen wäre nach wie vor das gleiche
- ok anwendungsbeispiel berechne das volumen des von den rektoren a b und c aufgespannten spaß hier immer die vektoren gegeben
- zunächst müssen wir das kreuz produkt von a und b berechnen das machen wir als neben rechnung ich blende hier oben nochmal den link ein zu
- dem trick mit der schnellen berechnungsmethode der trick ist ich schreibe beide vektoren zwei mal untereinander also 65 - 1 dann noch mal
- auf der rechten seite genauso dann streiche ich die oberste und unterste zeile durch macht dann so ein schnürsenkel muster wo wir dann immer
- rechnen dass mal dass - das mal dass also fünfmal 48 - - 1 x 2 sind - 42 - zwei sind 42 dann hier genauso
- also lautet unser rektor asb 42 - 49 7 das können jetzt hier oben in die volumen formel 1 tragen also 42 - 49 7 x - 205 betrag strom und scala produkt
- ausrechnen 42 mal - zwei sind - 84 49 x 0 sind 075 sind 35 also jetzt zusammenrechnen -84 +35 sind - 49 davon der betrag ist 49
- also können wir antworten das volumen des von den rektoren a b und c aufgespannten spaß beträgt 49 volumen 1 hätten und so funktionieren danke fürs
- zuschauen abonnieren einen kanal und schlägt auf die glocke und keine videos mehr zu verpassen besucher auf meine website macht auch 13
- de und instagram und der lokalen unterstützung bei einem kanal aufklären das kommt damit ich auch in zukunft videos produzieren kann fragen und
- anregungen immer rein damit einen kommentare freue mich drauf begleichen die videos zum absturz bis dahin [Musik]
- [Musik]
Zum Nachlesen
SpatproduktDas Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor.
KreuzproduktUnter Vorwegnahme der Bilinearität des Kreuzprodukts (siehe Eigenschaften) lässt sich die rechte Seite ausmultiplizieren: a → × b → = a 1 b 1 ( e → 1 × e → …
ParallelepipedDer Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
SkalarproduktDas Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.