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Parallelepiped
Der Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
Inhalt6 Abschnitte
Grundidee und Eigenschaften
Ein Parallelepiped, auch Spat genannt, ist ein geometrischer Körper, der von sechs Parallelogrammen begrenzt wird. Je zwei gegenüberliegende Seitenflächen sind kongruent, also deckungsgleich, und liegen in parallelen Ebenen. Der Körper hat 12 Kanten und 8 Ecken. Von den 12 Kanten verlaufen jeweils 4 parallel zueinander und sind gleich lang.
An jeder Ecke treffen drei Kanten zusammen. Die Winkel zwischen diesen Kanten können höchstens drei verschiedene Werte haben. Werden die drei Kanten an einer Ecke als Vektoren \vec a, \vec b und \vec c beschrieben, dann bestimmen diese Vektoren die Form des gesamten Parallelepipeds.
Wichtige Spezialfälle sind der Quader, bei dem alle Winkel 90^\circ betragen, und das Rhomboeder, bei dem alle Kanten gleich lang sind und 3 Innenwinkel gleich sind. Der Würfel ist zugleich ein Spezialfall von Quader und Rhomboeder. Außerdem ist das Parallelepiped ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche.
Volumen
Das Volumen eines Parallelepipeds kann mit Vektoren berechnet werden. Sind die drei an einer Ecke zusammentreffenden Kanten durch \vec a, \vec b und \vec c gegeben, dann ist das Volumen der Betrag des Spatprodukts. Das Spatprodukt verbindet Kreuzprodukt und Skalarprodukt:
V=| (\vec a\times \vec b)\cdot \vec c |.
Dabei ist \vec a\times \vec b ein Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt der Grundfläche entspricht. Die Grundfläche ist ein Parallelogramm. Für den Winkel \gamma zwischen \vec a und \vec b gilt:
G=|\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \sin(\gamma)=|\vec a\times \vec b|.
Die Höhe ergibt sich aus dem Anteil von \vec c, der senkrecht zur Grundfläche steht:
h=|\vec c|\cdot |\cos(\theta)|,
wobei \theta der Winkel zwischen \vec c und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist. Damit gilt insgesamt V=G\cdot h.
Das Spatprodukt kann auch als Determinante geschrieben werden. Für \vec a=(a_1,a_2,a_3)^T, \vec b=(b_1,b_2,b_3)^T und \vec c=(c_1,c_2,c_3)^T gilt:
V=\left|\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}\right|.
Eine Formel nur mit Kantenlängen und Winkeln lautet:
V=a\cdot b\cdot c\cdot \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}.
Dabei sind a,b,c die Kantenlängen und \alpha=\angle(\vec b,\vec c), \beta=\angle(\vec a,\vec c), \gamma=\angle(\vec a,\vec b) die Winkel zwischen benachbarten Kanten.
Oberfläche und wichtige Größen
Die Oberfläche eines Parallelepipeds besteht aus 6 Parallelogrammen. Da gegenüberliegende Seitenflächen gleich groß sind, setzt sich der Oberflächeninhalt aus jeweils zwei Flächen zu den Vektorpaaren \vec a,\vec b, \vec a,\vec c und \vec b,\vec c zusammen:
A=2\cdot (|\vec a\times \vec b|+|\vec a\times \vec c|+|\vec b\times \vec c|).
Mit den Kantenlängen und Winkeln wird daraus:
A=2ab\sin(\gamma)+2ac\sin(\beta)+2bc\sin(\alpha).
In der Zusammenfassung des Artikels werden außerdem weitere Größen angegeben. Die Höhe kann mit
h=\frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}
berechnet werden. Für die Raumdiagonale in Richtung |\vec a+\vec b+\vec c| gibt die Tabelle an:
d=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab\sin(\gamma)+2ac\sin(\beta)+2bc\sin(\alpha)}.
Flächenwinkel und Raumwinkel
Ein Flächenwinkel ist der Winkel zwischen zwei Seitenflächen. In der Ecke, in der die Vektoren \vec a, \vec b und \vec c zusammentreffen, liegen die Innenwinkel \alpha=\angle(\vec b,\vec c), \beta=\angle(\vec a,\vec c) und \gamma=\angle(\vec a,\vec b). Diese Ecke bildet mit den drei benachbarten Ecken ein Tetraeder.
Für den Flächenwinkel \beta_a zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor \vec a liegen, gilt:
\beta_a=\arccos\left(\frac{\cos(\alpha)-\cos(\beta)\cos(\gamma)}{\sin(\beta)\sin(\gamma)}\right).
Die entsprechenden Flächenwinkel \beta_b und \beta_c erhält man auf gleiche Weise.
Ein Raumwinkel beschreibt, wie groß ein Winkel im dreidimensionalen Raum an einer Ecke ist. Der Raumwinkel in einer Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden. Für die Ecke mit den Innenwinkeln \alpha, \beta und \gamma gilt:
\Omega_1=4\arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{4}\right)\tan\left(\frac{-\alpha+\beta+\gamma}{4}\right)\tan\left(\frac{\alpha-\beta+\gamma}{4}\right)\tan\left(\frac{\alpha+\beta-\gamma}{4}\right)}\right).
Zwei diagonal gegenüberliegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil ihre drei anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die übrigen Raumwinkel ergeben sich, indem bei den beteiligten Winkeln jeweils passende Ergänzungswinkel wie 180^\circ-\alpha, 180^\circ-\beta oder 180^\circ-\gamma verwendet werden.
Raumfüllung
Mit kongruenten Parallelepipeden kann der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos ausgefüllt werden. Eine solche dreidimensionale Parkettierung heißt Raumfüllung.
Die Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein Gitter. Dieses Gitter enthält parallele Ebenen. Im Gitter stehen die benachbarten Raumwinkel in Beziehung zu den Flächenwinkeln. Für den Flächenwinkel \beta_a gilt:
\beta_a=\frac{\Omega_1+\Omega_2}{2}.
Entsprechend gilt:
\beta_b=\frac{\Omega_1+\Omega_3}{2},
\beta_c=\frac{\Omega_1+\Omega_4}{2}.
In jedem Gitterpunkt treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel. Da jeweils zwei diagonal gegenüberliegende Raumwinkel gleich sind, gilt:
2\Omega_1+2\Omega_2+2\Omega_3+2\Omega_4=4\pi\,\mathrm{sr}.
Dabei ist \mathrm{sr} die Einheit Steradiant für Raumwinkel.
Verallgemeinerung
Die Verallgemeinerung des Parallelepipeds in den n-dimensionalen Raum heißt Parallelotop oder n-Parallelotop. Auch diese Verallgemeinerung wird manchmal als n-dimensionales Parallelepiped bezeichnet. Die Begriffe Parallelotop, Parallelflach und Parallelepiped werden oft synonym verwendet.
Das zweidimensionale Parallelotop ist das Parallelogramm. Ein n-Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter einer affinen Abbildung. Eine affine Abbildung ist hier eine geometrische Abbildung, die Geraden und Parallelität erhält. Der Einheitswürfel I^n ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten zwischen 0 und 1 liegen:
I^n:=\{(x_1,\dots,x_n)\mid 0\leq x_i\leq 1\}.
Ein Parallelotop ist ein konvexes Polytop, also ein mehrdimensionaler Körper ohne Einbuchtungen, mit 2^n Ecken. Für m<n sind seine m-dimensionalen Seiten selbst wieder m-dimensionale Parallelotope.
