Vorzeichen (Zahl)

Grundidee des Vorzeichens

Ein Vorzeichen oder Signum ist ein Zeichen, das einer reellen Zahl vorangestellt wird, um sie als positiv oder negativ zu kennzeichnen. Eine negative Zahl wird immer mit dem Minuszeichen geschrieben, bei einer positiven Zahl kann ein Pluszeichen stehen, muss aber nicht. Wenn kein Vorzeichen angegeben ist, gilt eine Zahlkonstante als nicht-negativ.

Streng genommen ist das Vorzeichen von den Rechenzeichen für Addition und Subtraktion zu unterscheiden. Das Vorzeichen ist unär, bezieht sich also auf eine einzelne Zahl. Addition und Subtraktion sind binäre Operationen, weil sie zwei Zahlen verknüpfen. Auch das unäre Minus zur Vorzeichenumkehr ist davon zu unterscheiden, kommt dem Vorzeichen einer Zahlkonstanten aber sehr nahe.

Plus, Minus und Betrag

In der Arithmetik wird das Vorzeichen direkt ohne Leerraum vor die erste Ziffer geschrieben. So bezeichnen +3 und -3 die positive beziehungsweise negative Zahl Drei.

In der Algebra kann das Minuszeichen als unäres Minus zur Vorzeichenumkehr verwendet werden. Dadurch erhält man die Gegenzahl einer Zahl oder Variablen. Es gilt zum Beispiel -(-x)=x für alle x in einer additiven Gruppe. Diese Gruppe muss dafür nicht angeordnet sein; wenn sie angeordnet ist, sagt die Gleichung nichts darüber aus, ob x selbst positiv oder negativ ist.

Die Betragsfunktion macht eine negative Zahl positiv und lässt eine positive Zahl unverändert. Beispiele sind |−3|=+3, |+3|=+3 und |−x|=|+x|.

Das Plusminuszeichen ±3 oder das Minuspluszeichen ∓3 wird verwendet, wenn eine Aussage für beide Vorzeichen gelten soll. Kommt es in einer Gleichung mehrfach vor, muss einheitlich entweder überall die obere oder überall die untere Variante gewählt werden. Die Formel cos(x±y)=cos y · cos x ∓ sin x · sin y fasst zum Beispiel zwei Gleichungen zusammen: entweder zuerst + und dann − oder zuerst − und dann +.

Die Null

Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ und hat daher normalerweise kein Vorzeichen. Die Gegenzahl von Null ist wieder Null. Deshalb bezeichnen +0 und -0 dieselbe Zahl Null.

Bei Maschinenzahlen können positive und negative Null trotzdem als zwei verschiedene Zahlen behandelt werden. Beispiele sind das Einerkomplement ganzer Zahlen und der IEEE 754-Standard für Gleitkommazahlen. Die Schreibweise -0 kann außerdem verwendet werden, wenn eine negative Zahl auf Null gerundet wurde.

In der Analysis haben ähnliche Schreibweisen eine besondere Bedeutung: lim x→0+ steht für einen rechtsseitigen Grenzwert, lim x→0− für einen linksseitigen Grenzwert.

Vorzeichenfunktion

Mit der Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion sgn kann man das Vorzeichen einer reellen Zahlvariablen x bestimmen. Üblicherweise ist sie so definiert: sgn(x)=-1, falls x<0; sgn(x)=0, falls x=0; sgn(x)=1, falls x>0.

Damit gilt: Ist x positiv, dann ist sgn(x)=1. Ist x negativ, dann ist sgn(x)=-1. Für x≠0 kann die Signumfunktion auch mithilfe des Betrags geschrieben werden: sgn(x)=x/|x|.

Vorzeichenkonventionen

Bei gerichteten Größen muss festgelegt werden, welche Richtung als positiv und welche als negativ gilt. Manchmal ergibt sich diese Zuordnung natürlich, manchmal ist sie willkürlich und wird nur aus Gründen der Einheitlichkeit festgelegt. Eine solche Festlegung heißt Vorzeichenkonvention.

Bei Winkeln ist ein gerichteter Winkel ein Winkel mit Orientierung. In der Mathematik ist es üblich, Drehungen gegen den Uhrzeigersinn als positiv und Drehungen im Uhrzeigersinn als negativ anzusehen. In drei Dimensionen kann einer Drehung ein Vorzeichen zugeordnet werden, wenn die Rotationsachse orientiert ist. Nach der Rechte-Hand-Regel gilt eine Drehung um eine orientierte Achse entgegen dem Uhrzeigersinn in einem Rechtssystem als positiv und in einem Linkssystem als negativ.

Bei Änderungen einer Größe x über die Zeit wird meist Δx=x_ende−x_start definiert. Ein Anwachsen von x ist dann eine positive Änderung, eine Verringerung eine negative Änderung. Dieselbe Konvention liegt der Ableitung zugrunde: Eine monoton wachsende differenzierbare Funktion hat eine positive Ableitung, eine monoton fallende Funktion eine negative Ableitung.

Bei Richtungen werden in Geometrie und Physik bestimmte Richtungen als positiv oder negativ ausgezeichnet. Auf der Zahlengeraden liegen positive Zahlen üblicherweise rechts und negative links. Deshalb gelten bei gleichförmigen Bewegungen Verschiebungs- oder Geschwindigkeitsvektoren nach rechts meist als positiv und nach links als negativ. Im kartesischen Koordinatensystem gelten rechts und oben üblicherweise als positiv: rechts entspricht der positiven x-Achse, oben der positiven y-Achse. In geodätischen Koordinatensystemen sind x- und y-Achse vertauscht. In drei Dimensionen unterscheidet man linkshändige und rechtshändige Definitionen, die mit unterschiedlichen Vorzeichenkonventionen für Drehrichtungen verbunden sind.

Physikalisches Beispiel

Auch physikalische Größen können ein Vorzeichen tragen. Ein wichtiges Beispiel ist die elektrische Ladung: Die Ladung von Elektronen ist als negativ definiert. Dazu passt die Konvention der technischen Stromrichtung, die als Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger verstanden wird, auch wenn diese Ladungsträger oft nur gedacht sind.