Determinante

Bedeutung und geometrische Interpretation

In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet und aus deren Einträgen berechnet wird. Übliche Schreibweisen sind det(A), det A oder |A|. Sie beschreibt unter anderem, wie sich das Volumen bei einer durch die Matrix dargestellten linearen Abbildung verändert, und ist ein wichtiges Hilfsmittel bei linearen Gleichungssystemen.

Für eine 2×2-Matrix A = ((a, c), (b, d)) gilt: det A = ad − bc. Geometrisch ist dies der orientierte Flächeninhalt des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Allgemein entspricht der Absolutbetrag der Determinante einer Matrix aus n Spaltenvektoren im Rⁿ dem Volumen des von ihnen aufgespannten n-Parallelotops. Das Vorzeichen kann zur Festlegung der Orientierung euklidischer Räume verwendet werden.

Wird eine lineare Abbildung f: Rⁿ → Rⁿ durch A dargestellt, dann gilt für jede messbare Teilmenge S ⊆ Rⁿ: Volumen(f(S)) = |det A| · Volumen(S). Für eine Abbildung f: Rⁿ → Rᵐ mit einer m×n-Matrix A wird das m-dimensionale Volumen im Allgemeinen mit dem Faktor √det(AᵀA) verändert.

Die Determinante der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems ist genau dann ungleich null, wenn das System eindeutig lösbar ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix über einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Für n = 1 ist die Aussage trivial: det a = a.

Definitionen und grundlegende Berechnung

Die gebräuchliche rekursive Definition entwickelt die Determinante nach einer Zeile oder Spalte. Für die Untermatrix Aᵢⱼ wird die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen. Der Laplacesche Entwicklungssatz lautet bei Entwicklung nach der j-ten Spalte

det A = Σᵢ₌₁ⁿ (−1)ⁱ⁺ʲ aᵢⱼ det Aᵢⱼ,

bei Entwicklung nach der i-ten Zeile entsprechend

det A = Σⱼ₌₁ⁿ (−1)ⁱ⁺ʲ aᵢⱼ det Aᵢⱼ.

Die Vorzeichen folgen einem schachbrettartigen Muster aus + und −. Das Produkt (−1)ⁱ⁺ʲ det Aᵢⱼ heißt Cofaktor. Für die Matrix ((0,1,2),(3,2,1),(1,1,0)) ergibt die Entwicklung nach der ersten Spalte: 0·det((2,1),(1,0)) − 3·det((1,2),(1,0)) + 1·det((1,2),(2,1)) = 3.

Die Leibniz-Formel ist eine direkte allgemeine Darstellung:

det A = Σ_{σ∈Sₙ} sgn(σ) Πᵢ₌₁ⁿ aᵢ,σ(i).

Dabei wird über alle Permutationen σ der symmetrischen Gruppe Sₙ summiert. Das Signum sgn(σ) ist +1 für gerade und −1 für ungerade Permutationen. Die Formel enthält n! Summanden und wird deshalb bei großen Matrizen unhandlich. Für n = 3 führt sie zu sechs Termen; diese sind äquivalent zur Regel von Sarrus. Die Regel von Sarrus gilt nur für 3×3-Determinanten.

Für die praktische Berechnung eignet sich häufig das Gaußsche Eliminationsverfahren. Eine Matrix wird durch elementare Umformungen in eine obere Dreiecksmatrix überführt; deren Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente. Beim Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten wechselt das Vorzeichen, das Addieren eines Vielfachen einer Zeile oder Spalte zu einer anderen ändert die Determinante nicht, und das Multiplizieren einer Zeile oder Spalte mit c multipliziert die Determinante mit c. Der Rechenaufwand liegt dabei typischerweise in der Größenordnung O(n³), während die Entwicklung nach Laplace O(n!) benötigt. Die Laplace-Entwicklung ist daher vor allem bei kleinen Matrizen oder vielen Nullen zweckmäßig. Bei einer LR-Zerlegung A = L·R gilt wegen der Dreiecksform und det L = 1: det A = det R = r₁₁r₂₂⋯rₙₙ.

Zentrale Eigenschaften und algebraische Bedeutung

Die Determinante erfüllt wichtige Rechenregeln:

• Für die Einheitsmatrix E gilt det E = 1.
• Für die Transponierte gilt det(Aᵀ) = det(A).
• Für quadratische Matrizen gleicher Größe gilt der Determinantenproduktsatz det(AB) = det(A)det(B).
• Für eine n×n-Matrix gilt det(cA) = cⁿdet(A).
• Für eine Dreiecksmatrix ist die Determinante das Produkt a₁₁a₂₂⋯aₙₙ.
• Eine Nullzeile oder Nullspalte sowie zwei gleiche Zeilen oder Spalten führen zu det A = 0.
• Beim Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten ändert sich das Vorzeichen.

Die Determinante ist multilinear: Sie ist in jeder Spalte einzeln linear, also additiv und homogen. Außerdem ist sie alternierend: Sind zwei Spalten gleich, ist ihr Wert null. Aus der Alterniertheit folgt die Vorzeichenänderung beim Vertauschen zweier Spalten. Zusammen mit der Normierung det Eₙ = 1 charakterisieren Multilinearität, Alterniertheit und Normierung die Determinante eindeutig. Diese axiomatische Beschreibung gilt über einem Körper K; bei Charakteristik 2 ist zu beachten, dass aus x = −x besondere Konsequenzen für die Formulierung der Alterniertheit entstehen.

Der Determinantenproduktsatz macht det auf der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,K) zu einem Gruppenhomomorphismus in die Einheitengruppe K*. Sein Kern ist die spezielle lineare Gruppe. Allgemeiner liefert der Satz von Binet-Cauchy Formeln für Minoren von Produkten nicht notwendig quadratischer Matrizen. Für eine Blockmatrix mit quadratischen Blöcken gilt bei B = 0 oder C = 0 der Kästchensatz: det((A,0),(C,D)) = det((A,B),(0,D)) = det(A)det(D). Ist A invertierbar, gilt det((A,B),(C,D)) = det(A)det(D − CA⁻¹B), ist D invertierbar, entsprechend det((A,B),(C,D)) = det(D)det(A − BD⁻¹C).

Ähnliche Matrizen besitzen dieselbe Determinante. Deshalb ist die Determinante einer linearen Selbstabbildung f: V → V unabhängig von der gewählten Basis definiert. Matrizen mit gleicher Determinante müssen allerdings nicht ähnlich sein.

Endomorphismen, Eigenwerte und Differentiation

Für eine lineare Selbstabbildung (Endomorphismus) f: V → V ist det f die Determinante einer Darstellungsmatrix bezüglich einer beliebigen Basis. Sie hängt weder von der Basis noch von der verwendeten von null verschiedenen Determinantenfunktion ab. Geometrisch ist det f der Faktor, mit dem das Volumen eines von einer Basis aufgespannten Spats verändert wird. Ohne Matrizen kann man dies durch f*ω = (det f)ω ausdrücken. Alternativ wirkt die induzierte Abbildung auf der eindimensionalen äußeren Potenz ΛⁿV als Multiplikation mit det f.

Das charakteristische Polynom einer n×n-Matrix A ist χ_A(x) = det(xEₙ − A) = xⁿ − a₁xⁿ⁻¹ + a₂xⁿ⁻² − ⋯ + (−1)ⁿaₙ.

Der Koeffizient aₙ ist det(A). Zerfällt das Polynom in Linearfaktoren, χ_A(x) = (x − α₁)⋯(x − αₙ), dann gilt det(A) = α₁⋯αₙ. Sind λ₁,…,λᵣ die verschiedenen Eigenwerte mit dᵢ-dimensionalen verallgemeinerten Eigenräumen, so ist det(A) = λ₁^{d₁}⋯λᵣ^{dᵣ}.

Über R oder C ist die Determinante als Polynomfunktion stetig und differenzierbar. Für eine Matrix A und eine Veränderung H gilt mit der adjungierten Matrix A# = adj(A): D(det A)H = spur(A#H). Ist A invertierbar, vereinfacht sich dies zu D(det A)H = det(A)·spur(A⁻¹H). Für kleine H folgt näherungsweise det(A + H) − det A ≈ det A·spur(A⁻¹H), und für die Einheitsmatrix E: det(E + H) ≈ 1 + spur H. Die partiellen Ableitungen nach den Einträgen aᵢⱼ sind die entsprechenden Kofaktoren; für invertierbares A gilt außerdem ∂det(A)/∂aᵢⱼ = det(A)(A⁻¹)ⱼᵢ.

Verallgemeinerungen und verwandte Begriffe

Die Determinante lässt sich auf Matrizen mit Einträgen in einem kommutativen Ring mit Eins verallgemeinern. Für den freien Modul Rⁿ gibt es genau eine R-lineare, in jedem Argument lineare und antisymmetrische Abbildung f: (Rⁿ)ⁿ → R, die f(e₁,…,eₙ) = 1 erfüllt. Über die Identifikation von n Vektoren mit einer quadratischen Matrix entsteht daraus die Determinante.

Jede Matrix kann als Summe von Dyaden, also dyadischen Produkten zweier Vektoren, geschrieben werden. Werden zwei Basen (aᵢ) und (bⱼ) verwendet, ergibt sich für A = ΣᵢΣⱼ Aⁱʲ aᵢ⊗bⱼ: |A| = |a₁ … aₙ| · |(Aⁱʲ)| · |b₁ … bₙ|.

Die Permanente ist ein vorzeichenloses Analogon zur Determinante und wird wesentlich seltener verwendet. Als spezielle Determinanten werden unter anderem die Knotendeterminante, die Funktionaldeterminante beziehungsweise Jacobi-Determinante, die Gramsche, Pfaffsche, Smithsche, Vandermonde- und Wronski-Determinante bezeichnet. Für eine 3×3-Matrix kann die Determinante außerdem über das Spatprodukt berechnet werden.