Rechtssystem (Mathematik)

Grundidee und Ebene

Ein Rechtssystem oder rechtshändiges Koordinatensystem beschreibt in Mathematik und Physik die Orientierung geordneter Vektoren: von zwei Vektoren in der Ebene oder drei Vektoren im Raum.

In der Ebene bilden zwei Vektoren \vec{x},\vec{y} ein Rechtssystem, wenn \vec{y} aus \vec{x} auf kürzestem Weg durch eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn entsteht. Das ist der mathematisch positive Drehsinn.

Raum und allgemeine Definition

Im dreidimensionalen Raum bilden \vec{x},\vec{y},\vec{z} ein Rechtssystem, wenn die Vektoren \vec{x},\vec{y}, vom Endpunkt von \vec{z} aus betrachtet, ein Rechtssystem in der Ebene bilden.

Allgemein ist ein Rechtssystem ein geordnetes Tupel von Spaltenvektoren (\vec{x}_1,\dotsc,\vec{x}_n) der Dimension n. Die Determinante der Matrix, deren Spalten diese Vektoren sind, muss positiv sein. Die Determinante ist eine Zahl, die hier die Orientierung des Systems kennzeichnet. Für n=2 und n=3 ist diese Bedingung gleichbedeutend mit den geometrischen Definitionen für Ebene und Raum.

Linkssysteme und Bestimmungsregeln

Bei einem Linkssystem beziehungsweise linkshändigen Koordinatensystem ist die Orientierung umgekehrt. In der Ebene entsteht \vec{y} aus \vec{x} durch eine möglichst kurze Drehung im Uhrzeigersinn, also im mathematisch negativen Drehsinn. Allgemein hat die zu einem geordneten Tupel gehörige Matrix dann eine negative Determinante. Im dreidimensionalen Raum ist auch das Spatprodukt negativ.

Drei Vektoren können mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand bestimmt werden: Daumen, Zeigefinger und der rechtwinklig abgespreizte Mittelfinger zeigen beim Rechtssystem in Richtung des ersten, zweiten und dritten Vektors. Zyklische Vertauschungen bleiben möglich: x-y-z, y-z-x, z-x-y.

Nach der Schrauben- oder Korkenzieherregel bewegt sich eine Schraube mit Rechtsgewinde in Richtung des dritten Vektors, wenn der erste Vektor auf kürzestem Weg zum zweiten gedreht wird. Für zwei Dimensionen gilt: Zeigt der Daumen einer nach oben geöffneten rechten Hand in positive x-Richtung, zeigen die übrigen Finger bei einem rechtshändigen System in positive y-Richtung; bei der linken Hand entsprechend für ein linkshändiges System.

Typische Anwendungen

Die Achsen eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems bilden in der üblichen Orientierung ein Rechtssystem, etwa bei x zum Betrachter, y nach rechts und z nach oben. Auch bei der Rotation eines Körpers bilden Radialvektor, Tangentialgeschwindigkeit und Drehimpuls ein Rechtssystem. Beim Leiterschaukel-Versuch bilden technische Stromrichtung, Magnetfeldlinien und Wirkungsrichtung der Lorentzkraft ein Rechtssystem.

Das geodätische Koordinatensystem ist dagegen ein Linkssystem, weil es dem Drehsinn beim Kompass folgt. Ebenso sind Pixelkoordinaten vieler Grafikprogramme linkshändig: Der Ursprung (0|0) liegt links oben, x wird nach rechts und y nach unten gezählt. Für die Darstellung müssen Koordinaten aus einem üblichen rechtshändigen System daher zunächst entsprechend transformiert werden.