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Spatprodukt (Definition)
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 36 Zeilen
- [Musik] heute geht es um das Sparprodukt dem spartprodukt Dreier
- Vektoren a b c versteht man die Zahl a b mal C also das tut man man multipliziert die beiden Vektoren a Kreuz B miteinander also das
- Vektorprodukt der beiden Vektoren A und B und dann multipliziert man den Vektor der da bei entsteht mit Hilfe des skalarprodukts
- mit einem weiteren Vektor C dabei entsteht natürlich dann eine Zahl was soll diese seltsame Multiplikation und was
- hat es mit einem sp ab zuutun es ist überhaupt ein Spark also hier haben wir das Bild eines spars das ist ein sogenanntes Prisma mit einem
- Parallelogramm als Grundfläche Prisma ist ja einfach ein NCK z.B ein Viereck oder Parallelogramm dann wird eben diese odenfläche parallel
- irgendwie verschoben dann spricht man von einem Prisma so ein Dreieck Viereck Fünfeck als Boden und den Beil verschoben sowas nennt man
- Prisma und hier haben wir den Spezialfall dass wir hier ein Parallelogramm haben als Bodenfläche dann spricht man hier von einem spart so
- man kann sich jetzt dieses aufgespannt Denken durch die Vektoren A B und C ich habe drei Vektoren a b und c dürfen aber nicht in
- einer Ebene sein man sagt auch die Vektoren sind nicht komplanar dann spannen die hier ein dreidimensionales Gebilde auf nämlich
- einen spart und nun ist die Frage was hat diese Zahl die hier steht a K B mal C mit dem Spar zu tun ganz einfach es hat was mit dem Volumen scharz zu tun
- und das sehen wir hier gleich ja Volumen des schwarz mal hier ausrechnen das Volumen des sparz wä ja
- Grundfläche mal Höhe das ist die allgemeine Formel für ein Prisma Grundfläche mal Höhe und die Grundfläche ist ja die Fläche des Parallelogramms
- und das wissen wir vom Vektorprodukt das ist der Betrag von A B denn wir sehen ja das spart hat ja Grundfläche a kuz B oder wird durch
- die Vektoren das quramm der Grundfläche wird durch die Vektoren A und B aufgespannt und wir haben gelernt dass ja das Vektorprodukt so definiert ist
- dass eben der Betrag von A KZ B genau den flächenhalt des Parallelogramms ergibt MS wir nur noch mit dieser Höhe
- multiplizieren wenn wir uns das jetzt angucken die Höhe ist genau wie ich es eingzeigt Strecke hier und wir haben hier
- ein rechtwinkliches Dreieck wir haben hier einen winkel f der eingeschlossen wird von dem Vektor C und dem Vektor grün
- gezeichnet a Kre B heißt könnten ja jetzt folgendes machen wir können nicht diese Höhe hier ausrechnen über den Cosinus nämlich nichts anderes
- ist die Ankathete cos P ist Ankathete also Höhe geteilt durch die Hypotenuse das W die Länge von C also die Höhe
- h kann ersetzt werden durch Betrag C mal Cosinus F aber das ist genau die Definition des skalarprodukts ich habe hier einen Vektor ich multipliziere die
- beiden Beträge mal dem eingeschlossenen Winkel vi war ja der eingeschlossene Winkel des Vektors a kuz B mit dem
- Vektor C wir gehen davon aus mal dass hier F Z 090° liegt weil dann ist Jen Fall das Skalarprodukt größer Null größer gleich 0 be 90° ja
- 0 und dann K wir hier auch kin 4 schreiben und das Volumen ist auch eine positive Zahl son h ja ein negatives Volumen
- wenn das skalarpunkt Negativ wä das heißt wenn viel größer 90° ist dann den wir hier eine negative Zahl Volumen ist aber keine negative Zahl dann müsste man
- hier eben den Betrag setz Betrag Cosinus V also bekommt man für das Volumen insgesamt Betrag von A B mal C so hat man dann alle Winkel zwischen 0 und 180°
- abgedeckt also das Sparprodukt heißt deshalb Sparprodukt weil es eben eine Maßzahl für das Volumen eines sparz
- ist Z ist der Betrag des dieser Zahl Betrag des sparprodukts okay jetzt noch eine wichtige Tatsache
- in dieser Formel a b mal C darf man ABC zyklisch vertauschen was heißt es zyklisch vertauschen also das heißt ich kann hier folgendes machen
- ich kann jetzt hier C hier vorne hinsetzen und dann rutschen A und B entsprechend hier nach rechts und so geht es dann im Kreis also wir machen
- das mal dann kriegen wir einmal C Kreuz a wir wissen ja das ist nicht kommutativ ich kann nicht A und B vertausen K Minuszeichen mal e so kann ich wieder
- zyklisch tauschen kommt das B hier vorne hin B kuz C mal a so aber das Skalarprodukt
- ist kommutativ also das könnte man auch schreiben als a mal e C liegt da dran weil das Skalarprodukt
- kommutativ ist das heißt anstelle von A K B mal C könnte man auch a mal B K C schreiben so hab hier noch schöne Striche
- drunter hier auch noch eine schöne Formel ich kann zuerst B Kreuz C bilden und dann mal a nehmen das spielt keine Rolle beides beschreibt sozusagen das
- Volumen eines sogenannten sparz