Volumen

Grundbegriff und Einheiten

Das Volumen, auch Raum- oder Kubikinhalt, beschreibt den räumlichen Inhalt beziehungsweise den Platzbedarf eines Körpers. Das übliche Formelzeichen ist V. Als physikalische Größe wird es aus der Länge abgeleitet und hat die Dimension L³.

Die kohärente SI-Einheit ist der Kubikmeter (m³); im cgs-System wird der Kubikzentimeter (cm³) verwendet. Die früheren Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³ sind veraltet. Für Flüssigkeiten und Gase ist außerdem der Liter gebräuchlich. Es gilt: 1 Liter = 1 dm³ = 10 × 10 × 10 cm³.

Technisch unterscheidet man zwischen dem Hohlvolumen, also dem freien Raum innerhalb bestimmter Grenzen wie dem Fassungsvermögen eines Behälters, und dem Rauminhalt fester Körper, von Flüssigkeiten oder Gasen.

Entwicklung der Volumenbestimmung

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung, die zur Stereometrie gehört, stammen aus dem Alten Ägypten. Das etwa auf 1850 v. Chr. datierte Moskauer Papyrus enthält unter anderem Formeln zur Bestimmung der Volumina von Rechteckkegeln.

Dabei wurde ein Körper durch Analyse in mehrere bekannte Körper zerlegt. Anschließend wurden deren einzelne Volumina in einer Synthese addiert. Dieses Zerlegen und Zusammensetzen ist bis heute ein grundlegendes Verfahren zur Berechnung zusammengesetzter Körper.

Messmethoden

Volumina können auf unterschiedliche Weise experimentell bestimmt werden:

• Beim Auslitern wird ein Körper beziehungsweise Gefäß mit Sand oder Wasser gefüllt. Die eingefüllte Menge wird danach mithilfe eines bekannten Gefäßes bestimmt. So lässt sich besonders das Innenvolumen eines Behälters messen.

• Bei der Wasserverdrängung taucht man einen Körper in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß. Das übertretende Wasser wird aufgefangen und in einem geometrisch einfachen Gefäß, beispielsweise einem Zylinder, vermessen. Wechselwirkungen zwischen dem untersuchten Körper und dem Wasser können Messfehler verursachen; deshalb lassen sich bei Bedarf andere Flüssigkeiten verwenden.

• Bei einem Körper mit bekannter Dichte kann das Volumen durch Wiegen bestimmt werden.

Mathematische Berechnung

Mathematisch ist das Volumen ein Maß für Teilmengen des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums ℝ³. Nicht jeder beschränkten Teilmenge kann sinnvoll ein Volumen zugeordnet werden, wie das Banach-Tarski-Paradoxon zeigt. Präzise lässt sich das Volumen als dreidimensionaler Jordan-Inhalt oder umfassender als Lebesgue-Maß für Jordan- beziehungsweise Lebesgue-messbare Teilmengen von ℝ³ definieren. Es hängt eng mit dem dreifachen Riemann- beziehungsweise Lebesgue-Integral zusammen.

Für einen Körper, der den Bereich B in ℝ³ einnimmt, gilt allgemein das Dreifachintegral V = ∭_B dV. Seine Berechnung kann schwierig oder nur numerisch möglich sein. Viele einfache Körper, insbesondere Polyeder, können jedoch ohne Integrale berechnet werden.

Wichtige Formeln sind:

• Würfel mit Kantenlänge a: V = a³ • Quader mit Kantenlängen a, b und c: V = abc • Prisma mit Grundfläche G und Höhe h: V = Gh • Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h: V = ⅓Gh • Kugel mit Radius r: V = ⁴⁄₃πr³ • Ellipsoid mit Halbachsen a, b und c: V = ⁴⁄₃πabc • Senkrechter Kreiszylinder: V = πr²h • Senkrechter Kreiskegel: V = ⅓πr²h • Torus mit den Radien R und r: V = 2π²Rr²

Bei einem Rotationskörper, der durch die Rotation des Graphen einer Funktion f im Intervall [a,b] entsteht, ist die Querschnittsfläche A(x) = πf(x)². Deshalb gilt V = π · ∫_a^b f(x)² dx. Allgemein berechnet sich das Volumen eines Körpers mit stetiger Querschnittsfläche A(x), beispielsweise eines Steinmetz-Körpers, durch V = ∫_a^b A(x) dx.

Verallgemeinerung des Volumenbegriffs

Der Volumenbegriff lässt sich auf mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten erweitern. Eine Mannigfaltigkeit ist dabei ein mathematischer Raum, der lokal einem euklidischen Raum ähnelt. Im zweidimensionalen euklidischen Raum entspricht das verallgemeinerte Volumen dem Flächeninhalt; entsprechend gilt dies auch für höhere Dimensionen.

Ein n-dimensionaler Hyperwürfel mit Kantenlänge a besitzt das Volumen aⁿ. Bei einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit wird das Volumen durch die Integration der Volumenform über die Mannigfaltigkeit definiert.

Hohlräume und Hohlvolumen

Ein Hohlraum kann ein mathematisches, physikalisches oder natürliches Objekt sein; sein Volumen heißt Hohlvolumen. Hohlräume können vollständig in einer Struktur eingeschlossen sein. Sie verändern häufig Eigenschaften der umgebenden Struktur, etwa deren Festigkeit oder Elastizität, wie es bei der Porosität von Materialien eine Rolle spielt.

Ein natürlicher Hohlraum kann ein Vakuum enthalten oder mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt sein. Der Inhalt kann die umschließende Struktur beeinflussen. Die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur kann sich verändern, schwer erkennbar sein oder nur gedanklich festgelegt werden. Umgangssprachlich werden auch Räume mit einer oder mehreren Öffnungen als Hohlräume bezeichnet, obwohl sie nicht vollständig umschlossen sind.

Das Hohlvolumen lässt sich häufig berechnen oder experimentell bestimmen; in manchen Fällen ist dies jedoch grundsätzlich nicht möglich. Hohlraumbildung tritt häufig bei geologischen sowie anderen physikalischen und chemischen Prozessen auf. Evakuierte Hohlräume besitzen universelle Eigenschaften, zu denen die Hohlraumstrahlung gehört.

Beispiele für Hohlräume sind Flaschen, Tanks, das Verdauungssystem und Schwämme als Gefäße, Wohnungen und Höhlen als Aufenthaltsorte sowie Luftblasen, Seifenblasen, Löcher im Käse und Lunker als Ergebnisse chemischer oder physikalischer Vorgänge.