Levi-Civita-Symbol

Bedeutung und Definition

Das Levi-Civita-Symbol ε_{i₁i₂…iₙ}, auch Permutationssymbol genannt, ist ein Hilfsmittel der Vektor- und Tensorrechnung. Es beschreibt die Orientierung einer Anordnung von Indizes und ist besonders wichtig für Determinanten, Kreuzprodukte, Volumina und Tensoren.

In n Dimensionen besitzt es n Indizes, die gewöhnlich die Werte 1 bis n annehmen; in manchen Anwendungen laufen sie von 0 bis n−1. Es ist total antisymmetrisch: ε_{12…n}=1, und beim Vertauschen zweier Indizes wechselt das Vorzeichen. Daher gilt ε_{ij…u…u…}=0, sobald mindestens zwei Indizes gleich sind.

Gleichwertig gilt: ε_{ijk…}=+1, wenn (i,j,k,…) eine gerade Permutation von (1,2,3,…) ist, −1 bei einer ungeraden Permutation und 0 bei gleichen Indizes. Eine gerade beziehungsweise ungerade Permutation entsteht durch eine gerade beziehungsweise ungerade Anzahl von Vertauschungen. So ist ε_{132}=−1, weil eine Vertauschung 132 in 123 überführt.

Eine Formel für beliebige n lautet: ε_{i₁…iₙ}=∏_{1≤p<q≤n}(iₚ−i_q)/(p−q). Als Abbildung aufgefasst hat ε für nicht bijektive Abbildungen i:N→N den Wert 0 und sonst ε(i)=sgn(i), also das Vorzeichen der Permutation.

Determinanten und Delta-Identitäten

Mit der Summenkonvention – über doppelt auftretende Indizes wird automatisch summiert – lässt sich die Determinante einer n×n-Matrix A=(A_{ij}) schreiben als

det A=ε_{j₁…jₙ}A_{1j₁}…A_{njₙ}=ε_{i₁…iₙ}A_{i₁1}…A_{iₙn}

und auch als

det A=(1/n!)ε_{i₁…iₙ}ε_{j₁…jₙ}A_{i₁j₁}…A_{iₙjₙ}.

Allgemein gilt ε_{i₁…iₙ} det A=ε_{j₁…jₙ}A_{i₁j₁}…A_{iₙjₙ}. Setzt man die Einheitsmatrix ein, erhält man eine Darstellung des Symbols durch Kronecker-Deltas δ_{ij}. Das Kronecker-Delta ist 1 für i=j und sonst 0.

Ein wichtiges Ergebnis ist ε_{i₁…iₙ}ε_{j₁…jₙ}=det(δ_{i_pj_q}). Werden über die ersten k Indizes beider Symbole summiert, gilt

ε_{i₁…i_k i_{k+1}…iₙ}ε_{i₁…i_k j_{k+1}…jₙ}=k! det(δ_{i_pj_q})

für die verbleibenden Indizes. Daraus folgt unter anderem für die Einträge der Adjunkten einer n×n-Matrix:

adj(A){ij}=1/(n−1)! ε{i i₂…iₙ}ε_{j j₂…jₙ}A_{j₂i₂}…A_{jₙiₙ}.

In drei Dimensionen kann ε_{ijk} als Spatprodukt orthogonaler Einheitsvektoren geschrieben werden: ε_{ijk}=ê_i·(ê_j×ê_k). Daher ist auch ε_{ijk}ε_{lmn} die Determinante der Matrix mit Einträgen δ_{il}, δ_{im}, …, δ_{kn}.

Kreuzprodukt und Volumen im dreidimensionalen Raum

Für i,j,k∈{1,2,3} sind nur 6 der 27 Komponenten von ε_{ijk} von null verschieden:

ε_{123}=ε_{312}=ε_{231}=1, ε_{321}=ε_{213}=ε_{132}=−1.

Bei drei Dimensionen bleibt das Symbol unter zyklischer Permutation der Indizes unverändert. Allgemein gilt diese Invarianz nur für ungerades n; bei geradem n bewirkt eine zyklische Permutation einen Vorzeichenwechsel.

Die Komponenten des Kreuzprodukts zweier Vektoren a und b lassen sich kompakt schreiben als (a×b)i=ε{ijk}a_jb_k. Das Spatprodukt ist (a×b)·c=ε_{ijk}a_ib_jc_k. Es entspricht dem Volumen des von a, b und c aufgespannten Spates; damit zeigt sich die Beziehung des Symbols zur Volumenform.

Spezielle Kontraktionen liefern ε_{ijk}ε_{imn}=δ_{jm}δ_{kn}−δ_{jn}δ_{km}, ε_{ijk}ε_{ijn}=2δ_{kn} und ε_{ijk}ε_{ijk}=3!=6. Sie dienen zur Herleitung von Kreuzprodukt-Identitäten.

Außerdem ordnet ε_{ijk} einem Vektor a die schiefsymmetrische Matrix A mit A_{ij}=ε_{ijk}a_k zu. Dann gilt a×b=−A·b. Diese Zuordnung wird in der Mathematik als Hodge-Stern-Operator bezeichnet und wird beispielsweise für die Zuordnung eines magnetischen Feldvektors zu Komponenten des elektromagnetischen Feldstärketensors verwendet.

Tensoren, Basiswechsel und gekrümmte Räume

Das bloße Levi-Civita-Symbol hat in beliebigen Koordinaten nicht einfach die Eigenschaften eines gewöhnlichen Tensors. Es kann als Komponenten einer n-fach kovarianten Pseudotensordichte vom Gewicht −1 verstanden werden; ihre Komponenten bleiben bei einem Basiswechsel gleich. Beschränkt man sich auf Orthonormalbasen positiver Orientierung, beschreibt das Symbol Komponenten eines Tensors.

Auf einem n-dimensionalen orientierbaren semi-riemannschen Raum kann es die Komponenten einer total schiefsymmetrischen Differentialform n-ter Stufe festlegen. Diese Form ist bis auf einen skalaren Faktor bestimmt. Die Wahl dieses Faktors bestimmt die Volumeneinheit und damit die Volumenform. Bei einer Basis e′i=C{ji}e_j hat derselbe Tensor die Komponenten (det C⁻¹)ε_{i₁…iₙ}. Für eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit mit metrischem Tensor g lautet der Faktor der riemannschen Volumenform ±√det g; das Vorzeichen hängt von der Orientierung ab.

Der Zusammenhang mit dem Kronecker-Delta verallgemeinert sich zu (det g)ε_{i₁…iₙ}ε_{j₁…jₙ}=det(g_{i_pj_q}). In schiefwinkligen, nicht normierten Bezugssystemen entstehen der kovariante und kontravariante ε-Tensor durch Tensortransformation. In drei Dimensionen gilt dabei ε_{αβγ}=e_{αβγ}√g und ε^{κλμ}=e^{κλμ}/√g.

Aus ε_{αβγ}ε^{κλμ}=δ_{αβγ}^{κλμ} folgen Delta-Identitäten, insbesondere ε_{αβμ}ε^{κλμ}=δ_α^κδ_β^λ−δ_α^λδ_β^κ. Sie liefern unter anderem die Lagrange-Identität (a×b)·(c×d)=(a·c)(b·d)−(b·c)(a·d), die Graßmann-Identität c×(a×b)=(b·c)a−(a·c)b und die Jacobi-Identität für Kreuzprodukte.

Anwendungen in Relativitäts- und Quantenmechanik

In der allgemeinen Relativitätstheorie bezeichnet die Schreibweise [α,β,γ,…] meist das Levi-Civita-Symbol im flachen Raum. Mit ε_{α,β,γ}=√g [α,β,γ,…] und g=det(g_{μν}) wird daraus der Levi-Civita-(Pseudo)tensor, der sich wie ein Tensor transformiert. Deshalb ist das Kreuzprodukt auf einer dreidimensionalen raumartigen Hyperfläche im Allgemeinen nicht eindeutig definiert.

Im vierdimensionalen Minkowski-Raum mit Signatur (1,−1,−1,−1), Indizes 0 bis 3 und ε^{0123}=1 gilt nach dem Senken aller Indizes ε_{0123}=det(η)=−1. Andere Autoren verwenden unterschiedliche Vorzeichenkonventionen. Unter einer eigentlichen Lorentztransformation mit det(Λ)=1 bleibt der Epsilon-Tensor invariant. Der duale elektromagnetische Feldstärketensor ist \tilde F^{μν}=(1/2)ε^{μνρσ}F_{ρσ}; damit lauten die homogenen Maxwell-Gleichungen kompakt ∂_μ\tilde F^{μν}=0.

In der Van-der-Waerden-Notation für Spinoren übernimmt der zweistufige Epsilon-Tensor beim Umrechnen von ko- und kontravarianten Komponenten die Rolle der Metrik: ψ_α=ε_{αβ}ψ^β. Für diese Konvention werden üblicherweise die Metriksignatur (−1,1,1,1) und ε^{12}=ε_{21}=1 verwendet.

In der Quantenmechanik erscheint das Symbol in der Drehimpulsalgebra als Strukturkonstante der Lie-Algebren so(3,R)≅su(2,C). Für Generatoren T_i mit (T_i){jk}=−ε{ijk} gilt die Kommutatorbeziehung [T_i,T_j]=ε_{ijk}T_k.