Schiefer Kreiskegel

Definition und grundlegende Größen

Ein Kreiskegel heißt gerade, wenn seine Spitze S senkrecht über dem Mittelpunkt O des Grundkreises liegt. Bei einem schiefen Kreiskegel liegt die Spitze S senkrecht über einem anderen Punkt E der Kreisebene. Der Abstand e zwischen E und O heißt Abweichung. Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Kreisebene, beim schiefen Kegel also die Länge SE.

Der Mantel M ist die Oberfläche des Kegels ohne die Fläche des Grundkreises. Alle Kreiskegel mit derselben Höhe über demselben Grundkreis besitzen nach dem Cavalierischen Prinzip dasselbe Volumen. Ihre Mantelflächen können jedoch verschieden sein.

Für einen geraden Kreiskegel mit Grundkreisradius r und Mantellinie s gilt M = πrs mit s² = r² + h². Für den Mantel eines schiefen Kreiskegels gibt es keine entsprechend einfache Formel.

Berechnung des Mantels

Die Mantelfläche eines schiefen Kreiskegels wird durch Integration berechnet. Ein infinitesimal kleines Manteldreieck besitzt bei einem Mittelpunktswinkel x die Basis r·dx. Seine Höhe ist

f(x) = √((r − e·cos(x))² + h²).

Damit beträgt seine Fläche (r/2)·f(x)·dx. Weil f(x) symmetrisch um π liegt, genügt die Integration von 0 bis π; das Ergebnis wird dabei verdoppelt. Es folgt

M = r∫₀^π √((r − e·cos(x))² + h²) dx.

Im Integranden darf das Minus vor e·cos(x) durch ein Plus ersetzt werden, ohne dass sich der Integralwert ändert. Bei einer Integration über den Vollkreis kann außerdem der Kosinus gegen den Sinus ausgetauscht werden. Für e = 0 ergibt die Integralformel den geraden Kreiskegel und damit die bekannte Formel M = πr√(r² + h²).

Abschätzung und Beispiel

Durch obere und untere Schranken für den Integranden lässt sich die Mantelfläche abschätzen. Bleibt r + h unter einer festen Schranke, gilt für e → ∞:

M/(2re) → 1.

Ist die Abweichung also im Vergleich zu Radius und Höhe sehr groß, kann man näherungsweise M ≈ 2re rechnen. Die Mantelfläche entspricht dann ungefähr dem Produkt aus dem Durchmesser 2r und der Abweichung e.

Bei r = 2 cm, h = 6 cm und e = 50 cm beträgt die Mantelfläche 205,92… cm². Die Näherung liefert 2·2·50 cm² = 200 cm². Wäre die Höhe nur halb so groß, ergäbe sich eine Mantelfläche von 201,85… cm².

Extremale Mantelflächen

Bei gleicher Höhe und demselben Grundkreis besitzt der gerade Kreiskegel die kleinste Mantelfläche und deshalb auch die kleinste gesamte Oberfläche. Fasst man den Mantel als Funktion der Abweichung auf,

M(e) = r∫₀^π f(e,x) dx,

gilt

M′(e) = r∫₀^π ∂f(e,x)/∂e dx.

Aus der partiellen Ableitung folgt M′(0) = 0 und für e ≠ 0 beziehungsweise bei wachsender nichtnegativer Abweichung M′(e) > 0; außerdem gilt M″(0) > 0. Die Mantelfläche wächst somit mit der Abweichung e.

Ein anderes Ergebnis entsteht, wenn nicht die Höhe, sondern die Achsenlänge konstant bleibt. Als Achse wird die Strecke SO bezeichnet. Hat sie die feste Länge l, gilt e² + h² = l² und damit h² = l² − e². Auch dann ist M′(0) = 0, aber nun gilt M″(0) < 0. Bei e = 0 liegt daher ein Maximum vor: Unter allen Kreiskegeln mit derselben Achsenlänge über demselben Grundkreis besitzt der gerade Kreiskegel den größten Mantel und somit die größte Oberfläche.

Verbindung zum geraden Ellipsenkegel

Ein gerader Ellipsenkegel der Höhe h mit der Basisellipse x²/a² + y²/b² = 1, wobei a > b gilt, wird durch

F(x,y,z) = x²/a² + y²/b² − z²/h² = 0

beschrieben. Die Punkte mit F(x,y,z) = 0 und 0 ≤ z ≤ h liegen auf seinem Mantel; seine Spitze befindet sich im Ursprung. Der minimale Böschungswinkel α und der maximale Böschungswinkel β erfüllen tan(α) = h/a und tan(β) = h/b, also α < β.

Eine Ebene, deren Normale in der yz-Ebene liegt und die mit der xy-Ebene den Winkel γ bildet, schneidet den Ellipsenkegel in einem Kreis, wenn

cos(γ) = cos(β)/cos(α)

gilt. Der Radius dieses Kreises beträgt

r = n·a²/(bh),

wobei n der senkrechte Abstand der Schnittebene von der Kegelspitze ist. Gegebenenfalls muss der Ellipsenkegel über seine Basis hinaus verlängert werden, damit der vollständige Kreisschnitt entsteht. Der Teil zwischen Spitze und kreisförmiger Schnittfläche ist ein schiefer Kreiskegel. Daher enthält jeder gerade Ellipsenkegel einen schiefen Kreiskegel; umgekehrt kann jeder schiefe Kreiskegel zu einem geraden Ellipsenkegel erweitert werden.