Kegel (Geometrie)

Grundidee und Begriffe

Ein Kegel oder Konus ist ein geometrischer Körper. Er entsteht, wenn alle Punkte eines begrenzten, zusammenhängenden Flächenstücks in einer Ebene geradlinig mit einem Punkt außerhalb dieser Ebene verbunden werden. Dieses Flächenstück heißt Grundfläche, seine Begrenzungslinie heißt Leitkurve. Der Punkt außerhalb der Ebene heißt Spitze, Apex oder Scheitel. Die seitliche Fläche heißt Mantelfläche.

Ein Kegel hat eine Spitze, eine Kante, nämlich die Leitkurve, und zwei Flächen, nämlich Grundfläche und Mantelfläche. Die Spitze gilt nicht als Eckpunkt, weil sie kein Endpunkt von Kanten ist. Die Verbindungsstrecken von der Spitze zur Leitkurve heißen Mantellinien; zusammen bilden sie den Kegelmantel.

Die Höhe eines Kegels ist das Lot von der Spitze auf die Grundfläche oder die Länge dieses Lots. Sie steht immer senkrecht zur Grundfläche und gibt den Abstand der Spitze von der Grundfläche an. Ist die Grundfläche eine Kreisscheibe, spricht man von einem Kreiskegel. Ellipse, Parabel und Hyperbel sind Kegelschnitte; dabei wird nicht der Kegelkörper, sondern ein Kegelmantel geschnitten. In diesem Zusammenhang meint „Kegel“ oft einen Doppelkegel.

Wichtige Kegelarten

In der Geometrie ist mit „Kegel“ häufig der gerade Kreiskegel gemeint. Ein Kreiskegel wird durch einen Kreis, den Grundkreis oder Basiskreis, und eine Spitze außerhalb der Kreisebene festgelegt. Die Ebene des Basiskreises heißt Basisebene. Der Radius r des Kegels ist normalerweise der Radius des Basiskreises. Die Gerade durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze heißt Achse des Kegels. Die Höhe h ist der senkrecht gemessene Abstand der Spitze von der Basisebene.

Steht die Achse senkrecht auf der Basisebene, handelt es sich um einen geraden Kreiskegel oder Drehkegel. Er ist ein Rotationskörper: Er entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten. Die Mantellinien heißen hier auch Erzeugende s, weil sie den Mantel erzeugen. Der Öffnungswinkel 2φ ist das Doppelte des Winkels φ zwischen Mantellinie und Achse; φ heißt halber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt gleichseitiger Kegel. Schneidet man ihn mit einer Ebene, die die Achse enthält, entsteht ein gleichseitiges Dreieck.

Steht die Verbindungsgerade von der Kegelspitze zum Mittelpunkt der Grundfläche nicht senkrecht auf der Grundfläche, spricht man von einem schiefen Kreiskegel oder einem schiefen elliptischen Kegel. Jeder elliptische Kegel besitzt zwei Richtungen, in denen ein Ebenenschnitt ein Kreis ist; diese Eigenschaft wird bei der stereografischen Projektion als Kreistreue genutzt.

Größen und Formeln

Für den geraden Kreiskegel sind die Größen Radius r, Höhe h, Mantellinie s, halber Öffnungswinkel φ, Grundfläche AG, Mantelfläche AM, Oberfläche AO und Volumen V zentral. Zwischen Radius, Höhe und Mantellinie gilt wegen des rechtwinkligen Dreiecks im Achsenschnitt:

• r = √(s² − h²)
• h = √(s² − r²)
• s = √(h² + r²)

Für den halben Öffnungswinkel gilt:

• φ = arcsin(r/s) = arctan(r/h)

Der Durchmesser der Grundfläche ist:

• d = 2 · r = 2 · h · tan φ

Die Grundfläche eines Kreiskegels ist eine Kreisfläche:

• AG = r² · π

Die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels hat den Flächeninhalt:

• AM = r · s · π

Die gesamte Oberfläche ist die Summe aus Grundfläche und Mantelfläche:

• AO = AG + AM = r · π · (r + s)

Das Volumen eines beliebigen Kreiskegels ist:

• V = 1/3 · π · r² · h = 1/3 · AG · h

Für das Trägheitsmoment eines geraden Kreiskegels bei Drehung um die Symmetrieachse gilt: Beim massiven Kegel ist J = 3/10 · m · r². Beim Kegelmantel ist J = 1/2 · m · r². Dabei ist m die Masse.

Begründung der Formeln

Die Volumenformel lässt sich elementargeometrisch mit dem Prinzip von Cavalieri begründen. Johann Friedrich Lorenz beschreibt schon 1781 in seiner Übersetzung von Euklids Elementen die Feststellung: Jeder Kegel ist der dritte Teil eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Man vergleicht dazu einen Kreiskegel mit einer Pyramide gleicher Grundfläche und Höhe. Schneidet man beide Körper parallel zur Grundfläche, haben die entsprechenden Schnittflächen wegen Ähnlichkeit beziehungsweise zentrischer Streckung gleichen Flächeninhalt. Daher besitzen beide Körper dasselbe Volumen. Aus der Pyramidenformel V = 1/3 · AG · h folgt für den Kegel mit AG = r² · π die Formel V = 1/3 · r² · π · h.

Eine zweite Herleitung für den geraden Kreiskegel verwendet Integralrechnung. Man legt die Spitze in den Ursprung (0|0) und den Mittelpunkt des Grundkreises in (h|0). Der Kegel wird als Summe unendlich vieler dünner Zylinderscheiben gedacht. Für eine Scheibe im Abstand x von der Spitze ergibt sich nach dem Strahlensatz der Radius rZ(x) = (r/h)x. Das kleine Scheibenvolumen ist ((r/h)x)²π dx. Das Integral von 0 bis h ergibt V = ∫₀ʰ (r²/h²)πx² dx = 1/3 r²πh.

Die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels ist gekrümmt, lässt sich aber zu einem Kreissektor abwickeln. Der Radius dieses Sektors ist die Mantellinie s. Die Bogenlänge des Sektors entspricht dem Umfang des Basiskreises 2πr. Deshalb gilt für den Mittelpunktswinkel α: α/360° = 2πr/2πs = r/s. Daraus folgt für die Mantelfläche AM = (α/360°)s²π = (r/s)s²π = rsπ. Außerdem gilt α = (r/s) · 360°. Weil sin(φ) = r/s ist, kann man auch schreiben: α = sin(φ) · 360°.

Doppelkegel und analytische Beschreibung

Ein Doppelkegel oder Doppelkonus mit gegeneinander gerichteten Spitzen entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine Achse, die diese Gerade nicht rechtwinklig schneidet. Dabei entstehen zwei Drehkegel mit gleichem Öffnungswinkel und gemeinsamer Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, die die Spitze nicht enthält, entstehen die nicht ausgearteten Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Ein anderer Doppelkegel entsteht, wenn zwei gleiche Kegel an ihren Grundflächen zusammengefügt werden, sodass ihre Spitzen auseinanderweisen. Ein solcher Körper kann auf zwei schrägen, zum Schnittpunkt hin leicht geneigten Geraden scheinbar aufwärts rollen. Wird ein gerader Kreiskegel, dessen Radius gleich seiner Höhe ist, an der Grundfläche gespiegelt und dann in einer Ebene geschnitten, die beide Spitzen enthält, entsteht als Querschnitt ein Quadrat. Wird eines dieser Quadrate um 90° rotiert und werden beide Hälften wieder zusammengefügt, erhält man ein Sphericon.

Analytisch lässt sich ein senkrechter Kreiskegel-Doppelkegel mit Spitze im Ursprung und z-Achse als Symmetrieachse durch x² + y² = R²z² beschreiben. R ist der Radius der Höhenkreise für z = ±1. Für R = 1 erhält man x² + y² = z²; dieser Kegel heißt Einheitskegel. Sein Öffnungswinkel ist 2φ = 90°.

Ein beliebiger Kegel als Quadrik kann als affines Bild des Einheitskegels verstanden werden. Durch Skalierung der x- und y-Achse entstehen elliptische Kegel mit der Gleichung x²/a² + y²/b² = z², wobei a, b > 0 gilt. Ihre Höhenschnitte sind Ellipsen. Eine Parameterdarstellung lautet: x⃗(s,t) = s · (a cos t, b sin t, 1)ᵀ mit s ∈ ℝ und 0 ≤ t < 2π. Für einen beliebig im Raum liegenden Kegel kann man schreiben: x⃗(s,t) = q⃗0 + s f⃗1 cos t + s f⃗2 sin t + s f⃗3. Dabei ist q⃗0 die Spitze; f⃗1, f⃗2 und f⃗3 sind linear unabhängige Vektoren, wobei f⃗3 in Richtung der Kegelachse zeigt.

Verallgemeinerungen und Beispiele

Der Kegelbegriff wird in der Mathematik verallgemeinert. Eine Verallgemeinerung beschreibt kegelförmige Mengen als Mengen aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt. Dazu kann zum Beispiel auch eine unendlich hohe Pyramide gehören. Besonders wichtig sind konvexe Kegel, die in der linearen Optimierung vorkommen.

Ein Ordnungskegel kann verwendet werden, um eine Halbordnung zu definieren: x ≥ y genau dann, wenn x − y ∈ K gilt. Ist K ein konvexer und abgeschlossener Kegel, so ist diese Halbordnung reflexiv, antisymmetrisch, transitiv sowie mit Multiplikation und Addition verträglich. Eine mögliche Definition lautet: Sei (E, ||·||) ein reeller Banachraum und K eine nichtleere Teilmenge von E. K heißt Kegel, wenn K abgeschlossen ist, aus x,y ∈ K folgt x + y ∈ K, aus x ∈ K und λ ≥ 0 folgt λx ∈ K, und K ∩ −K = {0} gilt. Wird die vierte Bedingung weggelassen, erhält man eine mögliche Definition eines Keils.

Auch die Grundfläche kann verallgemeinert werden: Ein Kegel entsteht dann als konvexe Hülle einer Grundfläche und eines weiteren Punktes außerhalb dieser Fläche. In diesem Sinn ist eine Pyramide ein Kegel über einem Vieleck. In der Topologie ist der Kegel über einem topologischen Raum X der Raum, der aus X × [0,1] entsteht, wenn alle Punkte in X × {1} zu einer Kegelspitze identifiziert werden. Der entsprechende Doppelkegel heißt auch Einhängung oder Suspension.

Ein anschauliches Beispiel ist ein Trinkglas in Kegelform, etwa ein Martiniglas. Hat es einen Durchmesser von 103 Millimetern und eine Füllhöhe von 59 Millimetern, ergibt sich bei Füllung bis zum Rand ein Volumen von ungefähr 164 · 10³ mm³ = 164 ml. Die Mantelfläche beträgt ungefähr 127 · 10² mm² = 127 cm². Weitere Beispiele für kegelförmige Gegenstände sind Leitkegel, ein Glastrichter mit eingelegtem Rundfilter und das Apollo-Dockingsystem.