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Prinzip von Cavalieri
... Volumen. Das Volumen des Vergleichskörpers ist die Differenz der Volumina von Zylinder und Kegel, also. π ⋅ r 2 ⋅ r − 1 3 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ r = 2 3 π …
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Grundidee und Bedeutung
Das Prinzip von Cavalieri ist ein geometrischer Satz über Volumina. Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer gemeinsamen Grundebene auf gleicher Höhe jeweils denselben Flächeninhalt haben. Allgemeiner gilt: Liegen zwei Körper zwischen den parallelen Ebenen E₁ und E₂ und entstehen bei jedem Schnitt mit einer dazu parallelen Ebene E′ gleich große Schnittflächen, so haben die Körper dasselbe Volumen.
Anschaulich bleibt das Volumen eines Stapels quadratischer Notizzettel gleich, wenn der Stapel schraubenförmig verdreht wird. Die Form und Größe der Zettel kann bei der Anwendung des Prinzips auch variieren, sofern die entsprechenden Schnittflächen gleich groß sind. Aus dem Prinzip folgt außerdem, dass das Volumen eines Körpers mit gleichbleibender Grundfläche proportional zu seiner Höhe ist. Wird die Höhe eines solchen Körpers verdoppelt, kann sein Volumen durch das Zusammenlegen und entsprechende Aufschichten zweier gleicher Ausgangskörper erklärt werden.
Einordnung in Mathematik und Geschichte
In der modernen analytischen Geometrie und Maßtheorie ist das Prinzip von Cavalieri ein Spezialfall des Satzes von Fubini. Bonaventura Cavalieri verfügte selbst über keinen strengen Beweis, verwendete das Prinzip aber als Rechtfertigung für seine Methode der Indivisibilien. Diese stellte er 1635 in „Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota“ vor und verteidigte sie 1647 in „Exercitationes geometricae sex“.
Mit dieser Methode konnte Cavalieri die Volumina einiger Körper berechnen und über frühere Ergebnisse von Archimedes und Kepler hinausgehen. Die Grundidee, Volumenberechnungen auf Flächen bzw. Schnittflächen zurückzuführen, war ein wichtiger Schritt in der Entwicklung der Integralrechnung.
Zylinder als Anwendungsbeispiel
Schneidet man einen Zylinder senkrecht zu seiner Rotationsachse, entstehen Kreisscheiben. Bezeichnet r den Radius der Grundfläche, so besitzt jede dieser Schnittflächen den Flächeninhalt πr².
Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Zylindervolumen daher gleich dem Volumen eines Quaders mit derselben Höhe h und einer Grundfläche mit ebenfalls dem Flächeninhalt πr². Ein solcher Quader kann beispielsweise die Kantenlängen r und πr besitzen. Damit ergibt sich für den Zylinder:
V = πr² · h.
Halbkugel und Vergleichskörper
Für eine Halbkugel mit Radius r hat der Schnitt in der Höhe h parallel zur Grundfläche nach dem Satz des Pythagoras den Radius
r′ = √(r² − h²).
Der Flächeninhalt des Schnittkreises beträgt deshalb
π · (r′)² = π · (r² − h²).
Als Vergleichskörper dient ein Zylinder mit derselben Grundfläche und Höhe wie die Halbkugel, aus dem ein auf der Spitze stehender Kreiskegel herausgeschnitten wurde. In der Höhe h ist die Schnittfläche dieses Körpers ein Kreisring mit äußerem Radius r und innerem Radius h. Sein Flächeninhalt ist
π · r² − π · h² = π · (r² − h²).
Da die Schnittflächen auf jeder entsprechenden Höhe gleich groß sind, haben Halbkugel und Vergleichskörper dasselbe Volumen. Das Volumen des Vergleichskörpers ist die Differenz aus Zylinder- und Kegelvolumen:
π · r² · r − 1/3 · π · r² · r = 2/3 · π · r³.
Durch Verdoppelung erhält man die bekannte Formel für das Kugelvolumen.
Bezug zu Integralrechnung und Maßtheorie
Die Grundidee des Cavalieri-Prinzips erscheint auch in der Integralrechnung. Für Funktionen f und g gilt
∫ₐᵇ(f(x) − g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx − ∫ₐᵇ g(x) dx.
Das bedeutet geometrisch, dass die Fläche A₁ zwischen den Graphen von f und g genauso groß ist wie die Fläche A₂ unter dem Graphen der Differenzfunktion x ↦ f(x) − g(x). Die senkrechten Schnitte beider Flächen besitzen jeweils dieselbe Länge. In der modernen theoretischen Darstellung wird der Zusammenhang zwischen Integral, Flächeninhalt und Volumen jedoch typischerweise anders hergestellt; dort ist das Cavalieri-Prinzip weniger wichtig.
Die maßtheoretische Verallgemeinerung lautet: Ist A ⊂ ℝᵖ × ℝᑫ messbar, dann gilt
λᵖ⁺ᑫ(A) = ∫ℝᵖ λᑫ(Aₓ) dᵖx
bzw.
λᵖ⁺ᑫ(A) = ∫ℝᑫ λᵖ(Aᵧ) dᑫy.
Dabei bezeichnet λᵏ das k-dimensionale Lebesgue-Maß, also das k-dimensionale Volumen. Die Schnitte Aₓ und Aᵧ sind für fast alle x bzw. y messbar. Haben zwei messbare Mengen A und B für fast alle x gleich große q-dimensionale Schnitte, also λᑫ(Aₓ) = λᑫ(Bₓ), so besitzen sie dasselbe (p+q)-dimensionale Maß. Entsprechendes gilt für die Schnitte Aᵧ und Bᵧ. Eine analoge Aussage gilt für beliebige Produktmaße.
