Mittelpunkt

Definition und Bedeutung

Ein Mittelpunkt ist in der Geometrie eng mit der Punktsymmetrie verbunden. Ist eine Punktmenge \mathcal{P} in der Ebene oder im Raum zu genau einem Punkt M punktsymmetrisch, dann heißt M der Mittelpunkt von \mathcal{P}. Bei einer Punktspiegelung an M wird jeder Punkt der Menge auf einen ebenfalls zur Menge gehörenden Punkt abgebildet.

Einen Mittelpunkt besitzen beispielsweise eine Strecke, ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, ein Quadrat, ein Rechteck und ein reguläres Polygon mit gerader Eckenzahl. Räumliche Beispiele sind Quader, Kugel, Ellipsoid, Kegel und Torus. Quadriken mit einem Mittelpunkt heißen Mittelpunktsquadriken.

Keinen Mittelpunkt haben unter anderem ein Dreieck, ein reguläres Polygon mit ungerader Eckenzahl und eine Parabel. Manche Punktmengen, etwa ein paralleles Geradenpaar oder ein Zylinder, besitzen mehrere Symmetriepunkte. Ist eine Punktmenge zu mindestens zwei Punkten punktsymmetrisch, bleibt sie auch bei mindestens einer Verschiebung unverändert: Die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen ergibt eine Parallelverschiebung, auch Translation genannt.

Geometrische Einordnung

Der Mittelpunkt ist vor allem ein Begriff der affinen Geometrie, also einer Geometrie, in der unter anderem Geraden, Parallelität und Teilverhältnisse erhalten bleiben. Projektiv entspricht der Mittelpunkt einer Strecke zwei Punktepaaren in harmonischer Lage.

Ein Kreis oder eine Ellipse besitzt im projektiven Sinn keinen ausgezeichneten Mittelpunkt. Ein nichtausgearteter Kegelschnitt ist dort zu jedem Punkt Z, der nicht auf dem Kegelschnitt liegt, symmetrisch: Es gibt eine zentrale Involution mit Zentrum Z, die den Kegelschnitt unverändert lässt.

In der Physik wird der Schwerpunkt von Massen als Massenmittelpunkt bezeichnet.

Berechnung in Koordinaten

Für die Endpunkte A=(x_A,y_A) und B=(x_B,y_B) einer Strecke in der Ebene hat ihr Mittelpunkt M die Koordinaten

x_M=\frac{x_A+x_B}{2} und y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.

Jede Koordinate des Mittelpunkts ist somit das arithmetische Mittel der entsprechenden Koordinaten der beiden Randpunkte.

Im Raum gilt für A=(x_A,y_A,z_A) und B=(x_B,y_B,z_B):

x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\quad y_M=\frac{y_A+y_B}{2},\quad z_M=\frac{z_A+z_B}{2}.

Der Kreis mit der Gleichung (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 besitzt den Mittelpunkt M=(x_0,y_0). Für die Ellipse

\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1

ist der Mittelpunkt ebenfalls M=(x_0,y_0). Bei einer Kugel beziehungsweise einem Ellipsoid kommt jeweils eine dritte Koordinate hinzu.

Der Torus mit

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2=4R^2(x^2+y^2)

hat den Mittelpunkt M=(0,0,0). Die Punktsymmetrie zum Nullpunkt lässt sich daran erkennen, dass in der Gleichung ausschließlich Quadrate der Koordinaten auftreten.

Mittelpunkte besonderer Kreise

Das Wort Mittelpunkt bezeichnet außerdem die Zentren bestimmter Kreise, die zu geometrischen Objekten gehören.

• Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Mittelpunkt seines Umkreises.
• Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Mittelpunkt seines Inkreises.
• Der Krümmungsmittelpunkt ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises in einem bestimmten Kurvenpunkt.
• Entsprechend bezeichnet der Schmiegkreismittelpunkt den Mittelpunkt des Schmiegkreises in einem Kurvenpunkt.