Mantelfläche

Begriff und Grundidee

Die Mantelfläche, kurz Mantel, ist in der Geometrie ein Teil der Oberfläche bestimmter Körper. Grundfläche („Boden“) und Deckfläche („Deckel“) gehören, falls vorhanden, normalerweise nicht dazu; sie werden gelegentlich auch Stirnflächen genannt. Der Artikel behandelt Rotationskörper wie Kreiszylinder, Kegel und Kegelstumpf. Ihre Mantelfläche entsteht, wenn eine Linie oder ein Funktionsgraph um eine Koordinatenachse rotiert.

Bei Zylinder, Kegel und Kegelstumpf lässt sich der Mantel abrollen oder abwickeln und dadurch als ebene Fläche darstellen. Dann genügen geometrische Formeln. Für allgemeinere Rotationskörper wird die Mantelfläche mit Integralrechnung bestimmt.

Kreiszylinder und Kegel

Beim geraden Kreiszylinder entspricht die abgewickelte blaue Fläche seiner Mantelfläche. Er kann als Rotationskörper einer konstanten Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.

Ein besonderer Zusammenhang gilt für einen Zylinder, der gerade eine Kugel aufnehmen kann: Sind Zylinderradius und Kugelradius jeweils r und beträgt die Zylinderhöhe h = 2r, dann ist die Mantelfläche des Zylinders gleich der Oberfläche der Kugel.

Auch die Mantelfläche eines Kegels kann abgewickelt dargestellt werden; für ihre nähere Berechnung verweist der Artikel auf den Kegel-Artikel.

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf kann etwa durch die Rotation einer Geraden um eine Koordinatenachse entstehen. Seine abgewickelte Mantelfläche ist ein Kreissegmentring. Bezeichnet M_G die Mantelfläche des ganzen Kegels, M_H die Mantelfläche des abgeschnittenen kleinen Kegels und M_KS die Mantelfläche des Kegelstumpfs, gilt zunächst:

M_KS = M_G − M_H.

Seien r und R die beiden Radien, m die Mantellinie des Kegelstumpfs, s_x die Verlängerung der Mantellinie bis zur Spitze und x die Verlängerung der Höhe bis zur Spitze. Dann lautet der Ansatz:

M_KS = πr(m + s_x) − πRs_x.

Aus den Strahlensätzen folgt

(m + s_x)/s_x = r/R,

also s_x = Rm/(r − R). Durch Einsetzen ergibt sich die Formel

M_KS = π(r + R)m.

Sie lässt sich auch mit der ersten guldinschen Regel herleiten. Diese lautet M = L · 2πR. Dabei ist L die Länge der erzeugenden Linie, hier die Mantellinie m, und R der Abstand ihres Schwerpunkts von der Drehachse. Für die Mantellinie eines Kegelstumpfs ist dieser Abstand (r_1 + r_2)/2. Damit erhält man ebenfalls:

M = π · m · (r_1 + r_2).

Allgemeine Berechnung bei Rotation um die x-Achse

Für eine nichtnegative Funktion f: [a,b] → ℝ₀⁺, deren Graph als Mantellinie um die x-Achse rotiert, lautet die Mantelfläche im Bereich von x = a bis x = b:

M = 2π · ∫ₐᵇ f(x)√(1 + f′(x)²) dx.

Die Formel kann als Grenzfall vieler sehr dünner Kegelstümpfe verstanden werden. Ein solcher Kegelstumpf besitzt die Mantelfläche π · ΔL_i · (r_1i + r_2i). Seine Mantellinie ΔL_i ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras zu

ΔL_i = √((Δx_i)² + (Δy_i)²) = √(1 + (Δy_i/Δx_i)²) Δx_i.

Wenn die Teilstücke immer dünner werden, gilt r_1i = r_2i = f(x_i) und der Differenzenquotient Δy_i/Δx_i wird zu f′(x). Die Summe der Mantelflächen geht deshalb in das angegebene Integral über.

Rotation um die y-Achse

Wird die Mantellinie um die y-Achse rotiert, muss sie als x = f⁻¹(y) nach x aufgelöst werden. Mit x′ = dx/dy gilt:

M = 2π · ∫ₘᵢₙ(f(a),f(b))^ₘₐₓ(f(a),f(b)) x√(1 + (x′)²) dy.