Höhe (Geometrie)

Begriff und Bedeutung

Eine Höhe h ist in der Geometrie ein besonderes Lot, also eine Senkrechte, auf eine Strecke oder Fläche sowie die Länge dieses Lots. Höhen werden besonders zur Berechnung von Flächeninhalten und Rauminhalten (Volumina) benötigt. Je nach Figur können sie auch außerhalb der Figur oder des Körpers liegen, beispielsweise bei einem stumpfwinkligen Dreieck.

Höhen im Dreieck

Eine Dreieckshöhe entsteht, indem man von einer Ecke das Lot auf die gegenüberliegende Seite fällt. Der Schnittpunkt mit dieser Seite heißt Lotfußpunkt; die Strecke zwischen Ecke und Lotfußpunkt ist die Höhe. Das Dreieck aus den drei Lotfußpunkten heißt Höhenfußpunktdreieck.

Jedes Dreieck besitzt genau drei Höhen. Ihre Geraden schneiden sich in einem gemeinsamen Höhenschnittpunkt H. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt H innerhalb, bei einem stumpfwinkligen Dreieck außerhalb. Bei einem rechtwinkligen Dreieck fällt H mit der rechtwinkligen Ecke zusammen. Um den gemeinsamen Schnittpunkt zu erhalten, müssen Höhen gegebenenfalls über ihre Lotfußpunkte oder Eckpunkte hinaus verlängert werden. Die Höhen eines Dreiecks sind außerdem die Winkelhalbierenden seines Höhenfußpunktdreiecks.

Formeln für Dreieckshöhen

Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und c, den zugehörigen Höhen hₐ, hᵦ und h꜀, den Innenwinkeln α, β und γ in den Eckpunkten A, B und C sowie den Radien r und R von Inkreis und Umkreis gilt:

hₐ : hᵦ : h꜀ = 1/a : 1/b : 1/c.

Die Höhen sind damit umgekehrt proportional zu den zugehörigen Seiten. Genauer gilt:

hₐ = bc/(2R) = c·sin(β) = b·sin(γ), hᵦ = ac/(2R) = c·sin(α) = a·sin(γ), h꜀ = ab/(2R) = b·sin(α) = a·sin(β).

Für ihr Produkt gilt:

hₐhᵦh꜀ = (abc)²/(8R³).

Mit dem Inkreisradius r besteht außerdem die Beziehung:

1/hₐ + 1/hᵦ + 1/h꜀ = 1/r.

Bei rechtwinkligen Dreiecken spielt der Höhensatz des Euklid eine große Rolle.

Trapez und Parallelogramm

Ein Trapez besitzt zwei gegenüberliegende, parallele Seiten. Der Abstand zwischen diesen beiden Parallelen ist die Höhe des Trapezes.

Bei einem Parallelogramm ist die Höhe der senkrechte Abstand zwischen den jeweils gegenüberliegenden Seiten. Da ein Parallelogramm zwei Paare gegenüberliegender Seiten besitzt, kann die Höhe jeweils bezüglich eines dieser Seitenpaare betrachtet werden.

Körper und höhere Dimensionen

Bei Prismen und Zylindern ist die Höhe der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.

Bei Pyramiden und Kegeln ist die Höhe der lotrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche.

Der Begriff wird auch auf höherdimensionale geometrische Objekte übertragen. Bei einer Hyperpyramide bezeichnet die Höhe den senkrechten Abstand eines Eckpunktes im n-dimensionalen Raum von einer Hyperfläche, die in einer Hyperebene liegt.