Riemannsches Integral

Grundidee und Definition

Das riemannsche Integral ist eine Methode, um den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen einer Funktion mathematisch genau zu beschreiben. Es ist nach Bernhard Riemann benannt und gehört neben dem allgemeineren Lebesgue-Integral zu den klassischen Integralbegriffen der Analysis. Für viele Anwendungen, besonders bei stetigen oder stückweise stetigen Funktionen, reicht dieser Integralbegriff aus.

Die Grundidee ist, den gesuchten Flächeninhalt durch Rechtecke anzunähern. Das Intervall wird in Teilintervalle zerlegt. Auf jedem Teilintervall betrachtet man Rechtecke, deren Flächeninhalte leicht berechnet werden können. Wenn die Zerlegung immer feiner wird, nähern sich die Rechteckflächen dem tatsächlichen Flächeninhalt an.

Es gibt zwei äquivalente Definitionen: die Darbouxsche Definition über Ober- und Untersummen und Riemanns ursprüngliche Definition über Riemann-Summen. Eine Funktion ist genau dann im Darbouxschen Sinn integrierbar, wenn sie im Riemannschen Sinn integrierbar ist; dann stimmen beide Integralwerte überein.

Ober- und Untersummen

Bei der Darbouxschen Definition sei [a,b] ein Intervall und f: [a,b] → R eine beschränkte Funktion. Eine Zerlegung Z von [a,b] in n Teile ist eine endliche Folge x₀, x₁, …, xₙ mit a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b.

Für jedes Teilintervall wird das Supremum, also die kleinste obere Schranke, und das Infimum, also die größte untere Schranke, der Funktionswerte betrachtet. Daraus entstehen die Obersumme und die Untersumme:

O(Z) := Σₖ₌₁ⁿ (xₖ − xₖ₋₁) · sup_{xₖ₋₁ ≤ x ≤ xₖ} f(x),

U(Z) := Σₖ₌₁ⁿ (xₖ − xₖ₋₁) · inf_{xₖ₋₁ ≤ x ≤ xₖ} f(x).

Die Obersumme verwendet auf jedem Teilintervall den größten möglichen Funktionswert, die Untersumme den kleinsten. Die Funktion wird dadurch durch Treppenfunktionen angenähert, also durch Funktionen, die auf jedem Teilintervall konstant sind.

Wird die Zerlegung verfeinert, dann wird die Obersumme kleiner oder bleibt gleich, während die Untersumme größer wird oder gleich bleibt. Das obere Darboux-Integral ist das Infimum aller Obersummen, das untere Darboux-Integral das Supremum aller Untersummen:

obere Integralgrenze: inf_Z O(Z),

untere Integralgrenze: sup_Z U(Z).

Es gilt stets: unteres Darboux-Integral ≤ oberes Darboux-Integral. Wenn beide gleich sind, heißt f Riemann-integrierbar oder Darboux-integrierbar. Der gemeinsame Wert ist das riemannsche Integral ∫ₐᵇ f(x) dx.

Riemann-Summen

Riemanns ursprüngliche Definition benutzt Riemann-Summen. Zu einer Zerlegung Z = {a = x₀, x₁, …, xₙ = b} wählt man in jedem Teilintervall [xᵢ₋₁, xᵢ] eine Zwischenstelle tᵢ. Die zugehörige Summe lautet:

S(f,Z,t₁,…,tₙ) = Σᵢ₌₁ⁿ f(tᵢ)(xᵢ − xᵢ₋₁).

Die Feinheit einer Zerlegung wird durch die Länge des größten Teilintervalls gemessen:

μ(Z) = max{xᵢ − xᵢ₋₁ : i = 1,…,n}.

Eine Funktion f: [a,b] → R heißt über [a,b] Riemann-integrierbar, wenn es eine feste Zahl A gibt, sodass sich alle Riemann-Summen unabhängig von den gewählten Zwischenstellen beliebig nahe an A annähern, sobald die Zerlegung fein genug ist. Formal heißt das: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für jede Zerlegung Z mit μ(Z) < δ und beliebige Zwischenstellen t₁,…,tₙ gilt:

|S(f,Z,t₁,…,tₙ) − A| < ε.

Die Zahl A heißt dann das Riemann-Integral von f über [a,b], geschrieben A = ∫ₐᵇ f oder A = ∫ₐᵇ f(x) dx. Aus dieser Definition folgt, dass f beschränkt ist; bei der Darbouxschen Definition wird Beschränktheit vorher vorausgesetzt.

Berechnung und Beispiel

Ein nützlicher Satz zur Berechnung lautet: Gibt es eine Folge von Zerlegungen eines Intervalls, bei der die zugehörigen Untersummen und Obersummen gegen denselben Grenzwert konvergieren, dann ist die Funktion Riemann-integrierbar, und ihr Integral ist genau dieser gemeinsame Grenzwert.

Als Beispiel wird ∫₀¹ x² dx berechnet. Das Intervall [0,1] wird in n gleich lange Teile der Länge 1/n zerlegt. Im k-ten Teilintervall ist der größte Funktionswert (k/n)². Daher ist die Obersumme:

O(Z) = Σₖ₌₁ⁿ (k/n)² · 1/n = (1/n³) Σₖ₌₁ⁿ k².

Mit der Formel Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6 folgt:

O(Z) = ((n+1)(2n+1))/(6n²) = 1/3 + 1/(2n) + 1/(6n²).

Die Untersumme ist entsprechend:

U(Z) = 1/3 − 1/(2n) + 1/(6n²).

Für n → ∞, also für immer feinere Zerlegungen, nähern sich Untersummen von unten und Obersummen von oben dem gemeinsamen Grenzwert 1/3. Deshalb gilt:

∫₀¹ x² dx = 1/3.

Wann Funktionen integrierbar sind

Das Lebesgue-Kriterium beschreibt genau, wann eine beschränkte Funktion auf einem kompakten Intervall [a,b] Riemann-integrierbar ist: Sie ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie auf diesem Intervall fast überall stetig ist. „Fast überall“ bedeutet, dass die Ausnahmen eine Nullmenge bilden. Ist eine Funktion Riemann-integrierbar, dann ist sie auch Lebesgue-integrierbar, und beide Integrale sind identisch.

Insbesondere sind auf einem kompakten Intervall jede Regelfunktion, jede monoton wachsende oder monoton fallende Funktion sowie jede stetige oder stückweise stetige Funktion Riemann-integrierbar.

Die im Artikel genannte Funktion f: [0,1] → [0,1] mit f(0)=1, f(x)=1/q für x=r/q mit r,q ∈ N teilerfremd und f(x)=0 für irrationale x ist in allen irrationalen Zahlen stetig und in allen rationalen Zahlen unstetig. Die Unstetigkeitsstellen sind abzählbar und daher eine Nullmenge; deshalb ist die Funktion Riemann-integrierbar.

Die Dirichlet-Funktion g: [0,1] → [0,1] mit g(x)=1 für rationale x und g(x)=0 für irrationale x ist nirgendwo stetig und daher nicht Riemann-integrierbar. Sie ist aber Lebesgue-integrierbar, weil sie fast überall Null ist.

Eine weitere Funktion h: [-1,1] → [0,1] ist durch h(x)=1 für x ∈ {1/n | n ∈ N} und h(x)=0 sonst definiert. Sie hat abzählbar viele Unstetigkeitsstellen und ist daher Riemann-integrierbar. Bei 0 existiert der rechtsseitige Grenzwert nicht; dort liegt eine Unstetigkeitsstelle zweiter Art vor. Deshalb ist h keine Regelfunktion.

Erweiterungen

Uneigentliche Riemann-Integrale erweitern den Begriff auf unendliche Intervallgrenzen oder auf Funktionen, die an einer Intervallgrenze unbeschränkt sind. Für unendliche Grenzen werden Grenzwerte verwendet, zum Beispiel:

∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{β → ∞} ∫ₐ^β f(x) dx,

∫{−∞}^b f(x) dx = lim{α → −∞} ∫_α^b f(x) dx.

Außerdem gilt:

∫{−∞}^∞ f(x) dx = ∫{−∞}^a f(x) dx + ∫ₐ^∞ f(x) dx mit beliebigem a ∈ R.

Bei unbeschränkten Funktionen an einer Intervallgrenze betrachtet man ebenfalls Grenzwerte, etwa:

∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{ε ↘ 0} ∫_{a+ε}^b f(x) dx

oder

∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{ε ↘ 0} ∫ₐ^{b−ε} f(x) dx.

Das mehrdimensionale Riemann-Integral basiert auf dem Jordan-Maß. Für eine Jordan-messbare Teilmenge E ⊂ Rⁿ wird E in endlich viele Teilmengen zerlegt. Die maximale Ausdehnung dieser Teilmengen wird mit δ_τ beschrieben. Existiert der Grenzwert der zugehörigen Summen für δ_τ → 0, dann ist die Funktion Riemann-integrierbar über E. Dieser Integralbegriff besitzt die üblichen Eigenschaften eines Integrals; die Integralfunktion ist linear, und es gilt der Satz von Fubini.

Eine weitere Verallgemeinerung ist das Birkhoff-Integral für Funktionen mit Werten in einem Banachraum. Es verallgemeinert besonders den Zugang über Riemann-Summen.