Approximation

Bedeutung und Ziele

Eine Approximation ist in der Mathematik eine Näherung beziehungsweise ein Näherungsverfahren. Sie ist wichtig, wenn eine exakte Lösung nicht verfügbar oder ein mathematisches Objekt schwer handhabbar ist. Typische Ziele sind das näherungsweise Lösen von Gleichungen, die vereinfachte Darstellung von Funktionen oder Zahlen sowie die Rekonstruktion unbekannter Funktionen aus unvollständigen Daten, etwa aus Funktionswerten an Stützstellen.

Numerische Methoden beruhen häufig darauf, eine komplizierte oder nur implizit bekannte Funktion durch eine leichter handhabbare Funktion zu ersetzen. Die Approximationstheorie bildet dafür ein theoretisches Fundament und ist ein wichtiger Teil der angewandten Mathematik und computergestützter Lösungsverfahren.

Zahlen und geometrische Formen

Irrationale Zahlen werden oft durch Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen angenähert oder gerundet. Beispielsweise gilt: √2 ≈ 1,41421356 ≈ 1,41. Computer verwenden meist Gleitkommazahlen nach IEEE 754. Da diese nur endlich viele Stellen speichern, müssen irrationale Zahlen und periodische Brüche stets gerundet werden; die Genauigkeit hängt vom gewählten Datentyp ab.

Die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen untersucht die diophantische Approximation. In der Geometrie können komplizierte Objekte durch Polygone angenähert werden. Archimedes näherte beispielsweise die Kreiszahl π an, indem er einen Kreis durch regelmäßige Polygone mit immer mehr Ecken approximierte.

Funktionen und Fehlermaße

Funktionen werden besonders häufig angenähert, etwa um Näherungslösungen für nicht exakt lösbare Differentialgleichungen zu erhalten. Polynome sind dafür günstig, weil sie meist leicht differenzierbar, integrierbar und berechenbar sind. Die Taylorreihenentwicklung liefert eine lokale Approximation durch Polynome. Bei periodischen Funktionen verwendet die Fourieranalyse unendliche Reihen aus Sinus- und Kosinusfunktionen. Stückweise polynomiale Approximationen heißen Splines und sind unter anderem bei der Methode der finiten Elemente sehr wichtig.

Der Satz von Stone-Weierstraß besagt unter anderem, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten reellen Intervall beliebig genau gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann. Ebenso kann jede periodische stetige reelle Funktion beliebig genau gleichmäßig durch trigonometrische Funktionen angenähert werden.

Zur quantitativen Bewertung verschiedener Approximationen dient eine Norm; in der Statistik wird dazu auch der Begriff Verlustfunktion verwendet. Je nach Norm kann dieselbe Aufgabe zu unterschiedlichen Näherungslösungen führen. Der Approximationsfehler muss abgeschätzt werden, um die Qualität der Näherung zu beurteilen. Beispiele sind die Tschebyschow-Approximation für stetige reelle oder komplexe Funktionen bezüglich der Supremumsnorm und die L^p-Approximation für L^p-Funktionen bezüglich der L^p-Norm. Bei partiellen Differentialgleichungen sind Normen eines Sobolevraums wichtig.

Ein einfaches Beispiel ist die Kleinwinkelnäherung: Bei kleinen Winkeln ersetzt man die Sinusfunktion durch ihren Winkel und die Kosinusfunktion durch 1. Sie wird beispielsweise bei der Lösung des mathematischen Pendels verwendet.

Ordnung einer Näherung

Die Ordnung beschreibt die Güte einer Funktionsapproximation. Wird eine Funktion auf einem kleinen Intervall der Länge h angenähert, so hat eine Approximation n-ter Ordnung einen Fehler der Größenordnung O(h^(n+1)) in einer bestimmten Norm. Eine Näherung erster Ordnung heißt lineare Approximation, eine Näherung zweiter Ordnung quadratische Approximation.

In der Physik genügt oft eine lineare Näherung, wenn sie das Problem ausreichend genau modelliert oder löst. Terme höherer Ordnung werden wichtig, wenn lineare Methoden nicht ausreichen. Reale Gase verhalten sich beispielsweise nichtlinear; ihr Verhalten kann durch Näherungsfunktionen, sogenannte Virialentwicklungen, approximiert werden.

Sätze und Algorithmen

Wichtige Approximationssätze der Approximationstheorie und Funktionalanalysis sind unter anderem der Approximationssatz von Carleman, Korowkin, Runge und Walsh, der Satz von Mergelyan, der Satz von Müntz-Szász sowie der Satz von Stone-Weierstraß. In der Zahlentheorie gehören dazu der Approximationssatz von Kronecker und Liouville, der Dirichletsche Approximationssatz, der Näherungssatz für p-adische Zahlen, der Satz von Hurwitz und der Satz von Thue-Siegel-Roth.

Auch in der theoretischen Informatik werden Approximationen eingesetzt. Für manche NP-vollständigen Optimierungsprobleme lässt sich keine exakte Lösung effizient berechnen. Approximationsalgorithmen liefern dann effizient eine Näherung. Beim Rucksackproblem benötigt die optimale Lösung ab einer gewissen Problemgröße sehr viel Rechenaufwand, während gute Approximationsalgorithmen effiziente approximative Lösungen berechnen können.