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Bestimmtes Integral mithilfe von Ober- und Untersummen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo

Cornelsen Verlag4:30 4.910 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

Transkriptautomatisch erstellt · 21 Zeilen
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  1. In diesem Film lernst du, wie du mithilfe von Ober- und Untersummen ein bestimmtes Integral berechnest.
  2. Berechne zur Normalparabel im Intervall 0 bis 2 die Obersumme O_n und die Untersumme U_n. Zerlege für die Berechnung der Obersumme O_n das Intervall von 0 bis 2
  3. in n gleich große Teilintervalle. n ist hierbei eine beliebige natürliche Zahl. Das Ausgangsintervall ist 2 Längeneinheiten lang.
  4. Also hat jedes Teilintervall eine Länge von 2:n. Bestimme nun die Obersumme. Stelle dir in jedem der n Teilintervalle ein
  5. Rechteck vor und addiere deren Flächeninhalte. Jedes Rechteck ist so breit wie das zugehörige Teilintervall, und so hoch wie der Funktionswert am rechten Rand des Teilintervalls.
  6. Schreibe nach und nach alle Flächeninhalte auf: Das erste Rechteck hat eine Breite von 2/n. Seine Höhe ist der Funktionswert am rechten
  7. Rand des Teilintervalls, also bei 1∙2/n. Das zweite Rechteck ist ebenfalls 2/n breit. Seine Höhe entspricht dem Funktionswert an der Stelle 2∙2/n.
  8. So geht es weiter. Die Summanden unterscheiden sich dabei nur im Wert des rechten Rands des Teilintervalls. Dieser Rand wird bei jedem Schritt um 2/n erhöht.
  9. Schreibe zum Schluss den Flächeninhalt des letzten, also des n-ten Rechtecks auf. Es ist 2/n breit und seine Höhe entspricht
  10. dem Funktionswert an der Stelle n∙2/n. Da in jedem Summanden der Faktor 2/n vorkommt, kannst du diesen Faktor ausklammern. Bilde nun für jeden Summanden den Funktionswert.
  11. f ist die Quadratfunktion. Also quadrierst du die Argumente. Löse die inneren Klammern auf, indem du die Faktoren, die Zähler und die Nenner einzeln quadrierst.
  12. Klammere den Faktor 2²/n² aus. Fasse die beiden Faktoren, die vor der Klammer stehen, zusammen.
  13. Der Ausdruck in der Klammer lässt sich mithilfe einer Summenformel umschreiben. Die Summenformel besagt, dass die Summe der ersten n Quadratzahlen das gleiche ist wie
  14. dieser Bruch. Multipliziere den Zähler schrittweise aus. Spalte den Bruch in drei Einzelbrüche auf. Beim abschließenden Ausmultiplizieren kannst
  15. du einige Potenzen von n wegkürzen. Beachte: Das Endergebnis ist keine eindeutige Zahl, sondern abhängig von n, also von der Anzahl der Teilintervalle.
  16. Mithilfe einer ganz ähnlichen Rechnung lässt sich die Untersumme bestimmen. Der Unterschied ist, dass du für die Untersumme nicht die rechten, sondern die linken
  17. Intervallränder wählst. Die Untersumme lautet 8/3 minus 4/n plus 4/(3n)². Bestimme nun den Grenzwert von Obersumme und Untersumme für n gegen unendlich.
  18. Beginne mit der Obersumme. Setze für O_n den eben berechneten Term ein. Im ersten Summanden, 8/3, ist kein n enthalten. Der Wert bleibt also unverändert.
  19. In den beiden anderen Summanden werden mit wachsendem n die Nenner immer größer und damit die Brüche insgesamt immer kleiner. Sie nähern sich der 0 an.
  20. Der Grenzwert der Obersumme ist also 8/3. Ganz ähnlich kannst du den Grenzwert der Untersumme berechnen. Das Ergebnis ist ebenfalls 8/3.
  21. Die Grenzwerte von Obersumme und Untersumme stimmen also überein. Ihr Wert, 8/3, ist das Integral von x² in den Grenzen von 0 bis 2.

Zum Nachlesen

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