Dirichlet-Funktion

Begriff und Definition

Die Dirichlet-Funktion ist eine mathematische Funktion, die rationale und irrationale Zahlen unterscheidet. Sie ist besonders wichtig als Beispiel dafür, dass Lebesgue-Integrierbarkeit und Riemann-Integrierbarkeit nicht dasselbe sind: Die Funktion ist Lebesgue-integrierbar, aber auf keinem echten Intervall Riemann-integrierbar.

Sie wird gewöhnlich mit D bezeichnet und ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen ℚ innerhalb der reellen Zahlen ℝ. Eine charakteristische Funktion nimmt den Wert 1 für Elemente einer bestimmten Menge und sonst den Wert 0 an:

D: ℝ → ℝ, D(x) = 1, wenn x rational ist, D(x) = 0, wenn x irrational ist.

Da sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in ℝ liegen, enthält jedes noch so kleine echte Intervall Zahlen beider Arten.

Zentrale Eigenschaften

Die Dirichlet-Funktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig. In jeder Umgebung eines beliebigen x liegen rationale Zahlen mit Funktionswert 1 und irrationale Zahlen mit Funktionswert 0. Daher nähern sich die Funktionswerte in keiner Umgebung eindeutig D(x) an.

Sie ist außerdem eine beschränkte Funktion, weil sie nur die Werte 0 und 1 annimmt. Ihr Supremum, also ihre kleinste obere Schranke, ist 1. Dieses stimmt bezüglich des Lebesgue-Maßes nicht mit ihrem wesentlichen Supremum überein: Der Wert 1 wird nur auf den rationalen Zahlen angenommen, die eine Nullmenge bilden.

In der Klassifikation von Baire gehört D zur zweiten Klasse. Sie lässt sich durch den iterierten Grenzwert

D(x) = limₘ→∞ limₙ→∞ cos²ⁿ(m!πx)

darstellen. Zugleich ist sie ein Beispiel für eine Lebesgue-integrierbare, aber nicht Riemann-integrierbare Funktion.

Warum das Riemann-Integral nicht existiert

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar. Bei jeder Zerlegung Z eines Intervalls liegen in jedem Teilintervall [xₖ₋₁, xₖ] sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Deshalb ist dort das Infimum der Funktionswerte stets 0 und das Supremum stets 1.

Für jede Zerlegung gilt somit für die Untersumme

U(Z) = Σₖ₌₁ⁿ (xₖ − xₖ₋₁) · inf f(x) = 0.

Die Obersumme ist dagegen

O(Z) = Σₖ₌₁ⁿ (xₖ − xₖ₋₁) · sup f(x)

und entspricht stets der gesamten Länge des betrachteten Intervalls, weil in jedem Teilintervall das Supremum 1 ist.

Für Riemann-Integrierbarkeit müssten Oberintegral und Unterintegral übereinstimmen:

inf_Z O(Z) = sup_Z U(Z).

Bei D bleibt das Unterintegral jedoch 0, während das Oberintegral gleich der Intervalllänge ist. Die Ober- und Untersummen können daher durch feinere Zerlegungen nicht an denselben Wert angenähert werden.

Lebesgue-Integral

Die Dirichlet-Funktion ist eine einfache Funktion: Sie ist messbar und nimmt nur endlich viele Werte an, nämlich 0 und 1. Für ein beliebiges Intervall I lautet ihr Lebesgue-Integral

∫_I D dλ = 0 · λ(I ∩ (ℝ \ ℚ)) + 1 · λ(I ∩ ℚ),

wobei λ das Lebesgue-Maß bezeichnet.

Der erste Summand ist wegen des Faktors 0 gleich 0. Nach einer Konvention der Maßtheorie gilt dies auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Der zweite Summand ist ebenfalls 0, denn die Menge ℚ der rationalen Zahlen ist abzählbar und deshalb eine λ-Nullmenge, also eine Menge mit Lebesgue-Maß 0.

Damit gilt auf jedem Intervall I:

∫_I D dλ = 0.

Thomaesche Funktion als verwandtes Beispiel

Eine verwandte Funktion f ist auf [0,1] definiert durch

f(x) = 1 für x = 0, f(x) = 0 für irrationales x, f(x) = 1/q für x = p/q mit p,q ∈ ℕ und ggT(p,q) = 1.

Dabei bedeutet ggT(p,q) = 1, dass Zähler p und Nenner q teilerfremd sind. Diese Funktion wird unter anderem Thomaesche Funktion genannt.

Anders als die Dirichlet-Funktion ist sie nicht überall unstetig: Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereichs unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig. Außerdem ist sie Riemann-integrierbar, und ihr Integral beträgt

∫₀¹ f(x) dx = 0.