Fundamentalsatz der Analysis

Kernidee und Bedeutung

Der Fundamentalsatz der Analysis, auch Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI), verbindet die beiden Grundoperationen der Analysis: Differentiation und Integration. Er sagt aus, dass Ableiten und Integrieren in einem bestimmten Sinn Umkehroperationen sind. Damit erklärt er, warum man bestimmte Integrale mit Stammfunktionen berechnen kann.

Eine Stammfunktion einer Funktion f ist eine Funktion F, deren Ableitung wieder f ergibt, also F'(x)=f(x). Für das Riemann-Integral besteht der Hauptsatz aus zwei Teilen: Der erste Teil zeigt, dass eine Integralfunktion eine Stammfunktion ist. Der zweite Teil zeigt, wie man ein Integral durch Auswertung einer Stammfunktion an den Grenzen berechnet.

Die beiden Teile des Satzes

Erster Teil: Ist f: I -> R eine reellwertige stetige Funktion auf einem reellen Intervall I, so ist für jedes c in I die Integralfunktion F: I -> R mit F(x)=∫_c^x f(t) dt differenzierbar und eine Stammfunktion von f. Es gilt also für alle x in I: F'(x)=f(x).

Das bedeutet: Wenn man eine stetige Funktion f von c bis x integriert und x als veränderliche obere Grenze auffasst, erhält man eine Funktion F, deren Ableitung wieder f ist. Ist x0 ein Randpunkt von I, wird Differenzierbarkeit einseitig verstanden.

Zweiter Teil: Ist f: [a,b] -> R stetig und besitzt f eine Stammfunktion F: [a,b] -> R, dann gilt die Newton-Leibniz-Formel: ∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a).

Mit der Schreibweise [F(x)]_a^b := F(b)-F(a) schreibt man kurz: ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b.

Die Voraussetzung, dass f auf ganz [a,b] stetig ist, kann abgeschwächt werden; f darf zum Beispiel endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzen.

Beweisidee

Beim ersten Teil wird gezeigt, dass die Ableitung der Integralfunktion F existiert und gleich f ist. Dazu betrachtet man den Differenzenquotienten (F(x+h)-F(x))/h.

Aus der Definition von F folgt (F(x+h)-F(x))/h = (1/h) ∫_x^{x+h} f(t) dt.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es eine Zahl ξ_h zwischen x und x+h, sodass dieser Ausdruck gleich f(ξ_h) ist. Wenn h gegen 0 geht, geht ξ_h gegen x. Wegen der Stetigkeit von f folgt f(ξ_h) -> f(x). Also gilt F'(x)=f(x).

Es gibt auch einen alternativen Beweis ohne den Mittelwertsatz der Integralrechnung. Er benutzt die Definition der Stetigkeit und Grundeigenschaften des Riemann-Integrals wie Linearität, Dreiecksungleichung, Monotonie und Intervalladditivität. Dabei zeigt man direkt mit einem ε-δ-Argument, dass der Differenzenquotient von F gegen f(x0) konvergiert.

Der zweite Teil folgt aus dem ersten: Wählt man in der Integralfunktion c=a, dann ist F(a)=0 und F(b)=∫_a^b f(x) dx. Andere Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine Konstante, die sich bei F(b)-F(a) weghebt.

Anschauliche Deutung

Eine anschauliche Erklärung liefert die Bewegung eines Teilchens auf einer Geraden. Seine Ortsfunktion sei x(t), seine Geschwindigkeit v(t). Dann gilt (dx(t))/(dt)=v(t).

Die Ortsfunktion x(t) ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion v(t). Die gesamte Ortsänderung zwischen den Zeiten t1 und t2 ergibt sich durch Aufsummieren aller kleinen Ortsänderungen. Dieses Aufsummieren entspricht dem Integrieren: x2-x1 = ∫_{t1}^{t2} v(t) dt.

Das ist der zweite Teil des Hauptsatzes mit f(t)=v(t) und F(t)=x(t). Setzt man x(0)=0, erhält man x(t)=∫_0^t v(t') dt'.

Leitet man diese Gleichung nach t ab, ergibt sich (d/dt) ∫_0^t v(t') dt' = v(t), was die kinematische Form des ersten Teils ist.

Anwendungen und Beispiele

Die wichtigste Anwendung des Hauptsatzes ist die Berechnung bestimmter Integrale über Stammfunktionen. Statt Riemannsche Summen zu bilden und einen Grenzwert zu berechnen, sucht man eine Stammfunktion F und berechnet F(b)-F(a).

Beispiel 1: Die Funktion f(x)=x^2 auf ganz R hat die Stammfunktion F(x)=x^3/3. Daher gilt ∫_0^2 x^2 dx = F(2)-F(0) = 2^3/3 - 0^3/3 = 8/3.

Beispiel 2: Die Funktion g(x)=√(1-x^2) auf I=[-1,1] beschreibt den Rand eines Einheitshalbkreises. Eine Stammfunktion ist G(x)=1/2 (arcsin x + x·√(1-x^2)).

Damit erhält man für die Fläche des halben Einheitskreises ∫_{-1}^1 g(x) dx = G(1)-G(-1) = 1/2 arcsin(1) - 1/2 arcsin(-1) = π/2. Für den ganzen Einheitskreis ergibt sich die Fläche π.

Der Hauptsatz hilft auch, Integrationsregeln aus Ableitungsregeln herzuleiten. Aus der Produktregel entsteht die partielle Integration, auch Produktintegration genannt. Aus der Kettenregel entsteht die Substitutionsregel. Trotzdem gibt es Integranden, für die keine einfach angebbare Stammfunktion existiert, obwohl das Integral existiert; dann braucht man andere Verfahren, etwa Integration im Komplexen oder numerische Integration.

Verallgemeinerungen

Für uneigentliche Integrale gilt eine entsprechende Form. Sei -∞ < a < b ≤ ∞ und f: [a,b[ -> R über jedem abgeschlossenen Teilintervall [a,β] Riemann-integrierbar. Ist F eine Stammfunktion von f und existiert der Grenzwert lim_{x↑b} F(x), dann existiert das uneigentliche Integral und es gilt ∫a^b f(x) dx = lim{x↑b} F(x) - F(a).

Beispiel: f(x)=e^{-x} hat auf [0,β] die Stammfunktion F(x)=-e^{-x}. Da lim_{x->∞} -e^{-x}=0, folgt ∫_0^∞ e^{-x} dx = 1.

Für Lebesgue-Integrale wird der Satz auf allgemeinere Funktionen erweitert. Ist f auf I Lebesgue-integrierbar, dann ist F(x)=∫_c^x f dλ absolut stetig, insbesondere fast überall differenzierbar, und es gilt F'(x)=f(x) λ-fast überall. Umgekehrt gilt: Ist F auf [a,b] absolut stetig, dann ist F fast überall differenzierbar; definiert man f durch f(x)=F'(x) an den Differenzierbarkeitsstellen und sonst als 0, dann ist f Lebesgue-integrierbar und F(b)-F(a)=∫_a^b f dλ.

Im Komplexen gilt für eine komplexe Kurve γ mit Parameterintervall [a,b] und eine passende komplex differenzierbare Funktion F: ∫_γ F'(z) dz = F(γ(b))-F(γ(a)). Ist γ geschlossen, ist dieses Integral null. Daraus folgen zentrale Sätze der Funktionentheorie wie der cauchysche Integralsatz, die cauchysche Integralformel und der Residuensatz.

In mehreren Dimensionen wird die Grundidee durch den gaußschen Integralsatz und den Satz von Stokes verallgemeinert. Der gaußsche Integralsatz verbindet das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes F mit einem Integral über den Rand: ∫V div F dV = ∮{∂V} F · dS. Der Satz von Stokes lautet allgemeiner für Differentialformen: ∫M dω = ∫{∂M} ω.