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Ober- und Untersumme
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 71 Zeilen
- In diesem Video lernst du, was die Obersumme und die Untersumme sind und wie man diese berechnet. Die brauchst du, wenn du den Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
- bei komplizierteren Funktionsverläufen exakt bestimmen möchtest, das heißt bei Funktionsgraphen, die wie in diesem Beispiel krummlinig verlaufen.
- Bei konstanten und linearen Funktionen konnten wir den Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse noch leicht bestimmen,
- indem wir Rechtecks- und Dreiecksflächen berechnet haben. Bei andersartigen Funktionen geht das meist nicht mehr.
- Wir wollen aber den Flächeninhalt trotzdem zumindest annähernd bestimmen. Deswegen teilen wir das Intervall mal in gleichlange Teilintervalle auf
- und legen Rechtecke der gleichen Breite hierauf. Hier siehst du, dass der Flächeninhalt dieser Rechtecke
- annähernd so groß ist wie der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Die Summe dieser Rechtecke wird Obersumme genannt.
- Dabei sollen die Rechtecke jeweils so hoch sein wie der größte Funktionswert im Teilintervall. Genau so können wir auch die Untersumme betrachten.
- Hier sind die Rechtecke immer so hoch wie der kleinste Funktionswert im Teilintervall. Auch hier sehen wir, dass die Summe der Flächeninhalte dieser Rechtecke
- eine Annäherung an den exakten Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse ist. Schauen wir uns die Obersumme an,
- dann sehen wir, dass sie den exakten Flächeninhalt beinhaltet und sogar von den Rechtecken noch Überschüsse übrigbleiben.
- Bei der Untersumme fehlen allerdings immer kleine Stücke zum exakten Flächeninhalt. Anschaulich ist damit klar,
- dass der exakte Wert des Flächeninhalts immer kleiner ist als der Wert der Obersumme, aber größer als der Wert der Untersumme.
- Er wird also von der Ober- und der Untersumme eingeschlossen. Aber wie berechnet man denn jetzt die Ober- und die Untersumme?
- Das schauen wir uns mal für die Funktion f von x gleich x Quadrat plus 3 im Intervall von 0 bis 2 an. Damit wir verstehen, was hier passiert
- und wir uns das gut veranschaulichen können, teilen wir das Intervall erstmal in wenige Teilintervalle ein.
- Wir nehmen hier wie eben schon eingezeichnet 4 gleichlange Teilintervalle, das geht aber auch für 3, 5, 6 oder 10 oder beliebig viele Teilintervalle.
- Berechnen wir dafür zuerst die Obersumme. Das ist genau die Summe der Flächeninhalte dieser 4 Rechtecke.
- Um die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke zu bestimmen, brauchen wir jeweils deren Breite und Höhe.
- Diese Rechtecke haben alle die gleiche Breite, weil wir das Intervall ja in 4 gleichlange Teilintervalle zerlegt haben.
- Um diese Breite zu bestimmen, müssen wir also nur die Länge des gesamten Intervalls durch 4 teilen und erhalten 2 durch 4 und das ist ein Halb.
- Bei der Obersumme wird die Länge der Rechtecke durch den jeweils größten Funktionswert im betrachteten Teilintervall bestimmt.
- Da es sich hier um eine monoton wachsende Funktion handelt, ist das immer am rechten Randpunkt des Teilintervalls.
- Starten wir zur Berechnung der Obersumme mal mit dem ersten Rechteck. Das hat die Breite ein Halb
- und die Länge ist durch diesen Funktionswert gegeben, also durch f von ein Halb.
- Die Fläche dieses Rechtecks beträgt also ein Halb mal f von ein Halb. Für das zweite Rechteck geht das genau so.
- Die Breite ist wieder ein Halb und die Länge ist der Funktionswert an dieser Stelle, also f von 1.
- Dann erhalten wir als Flächeninhalt ein Halb mal f von 1. Das machen wir auch für die anderen Rechtecke.
- Die Obersumme ist nun die Summe dieser Flächeninhalte, also erhalten wir diesen Ausdruck.
- Wir schreiben O mit Index f von 4, um deutlich zu machen, dass das die Obersumme zur Funktion f mit 4 Teilintervallen ist.
- Hier setzen wir jetzt die einzelnen Flächeninhalte ein. Sieht noch etwas kompliziert aus, aber hier kommt ja überall ein Halb vor.
- Das klammern wir mal aus und dann sieht das schon etwas übersichtlicher aus. Jetzt setzen wir die Funktionswerte ein.
- Das können wir jetzt ausrechnen und erhalten insgesamt 39 Viertel, also 9,75. Genau so können wir auch die Untersumme berechnen.
- Für die Berechnung der Untersumme brauchen wir auch wieder die Breite der Rechtecke. Weil wir aber immer noch 4 Teilintervalle betrachten,
- ist das genau wie bei der Obersumme ein Halb für jedes Rechteck. Weil wir aber nun die Untersumme betrachten, müssen wir für die Höhe des Rechtecks
- immer den kleinsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall nehmen. Weil die Funktion monoton wächst, ist das immer der Funktionswert am linken Intervallrand.
- Dann haben wir hier als Untersumme, die wir mit U bezeichnen, ein Halb mal f von 0 plus ein Halb mal f von ein Halb
- plus ein Halb mal f von 1 plus ein Halb mal f von 3 Halbe. Genau wie bei der Obersumme können wir ein Halb ausklammern
- und die Funktionswerte einsetzen und damit das Ergebnis ausrechnen. Wir erhalten für die Untersumme 7,75.
- An dieser Stelle können wir bereits sagen, dass der exakte Wert des Flächeninhalts unter der Kurve, also das Integral von 0 bis 2 über f von x dx
- zwischen 7,75 und 9,75 liegen muss, weil dieser von der Untersumme und der Obersumme eingeschlossen wird.
- Wie wir am Anfang schon kurz gesehen haben, können wir die Ober- und Untersumme auch für andere Anzahlen an Teilintervallen berechnen, zum Beispiel für 10.
- Starten wir mit der Obersumme, die bezeichnen wir mit O_f von 10. Zuerst müssen wir wieder die Breite der Rechtecke bestimmen.
- Das ist ja die Länge der Teilintervalle. Wie lang sind die denn, wenn wir das gesamte Intervall
- in 10 gleichlange Teilintervalle einteilen? Dazu müssen wir die Länge des gesamten Intervalls,
- also 2, durch 10 teilen und erhalten 2 Zehntel. Das schreiben wir wie eben direkt außerhalb der Klammer.
- Hier addieren wir die entsprechenden Funktionswerte, also für die Obersumme die Funktionswerte an den rechten Rändern der Teilintervalle.
- Dazu müssen wir nicht immer die Funktionswerte ablesen, sondern können direkt immer 2 Zehntel weitergehen,
- weil die Teilintervalle ja alle 2 Zehntel lang sind. Das erste Teilintervall geht bis 2 Zehntel,
- das zweite bis 4 Zehntel, das nächste bis 6 Zehntel, und so weiter. Damit wir nicht alles aufschreiben müssen, kürzen wir das mal mit diesen Punkten ab.
- Das letzte Teilintervall endet dann bei 2, also 20 Zehntel. Hier setzen wir wieder die Funktionswerte ein und rechnen diese mit dem Taschenrechner aus
- und erhalten damit 9,08. Das Gleiche machen wir wieder für die Untersumme
- mit den Funktionswerten der linken Ränder der Teilintervalle. Dabei starten wir bei 0 und enden bei 18 Zwanzigstel.
- Dann erhalten wir insgesamt 8,28. Wir konnten den exakten Wert des Flächeninhaltes unter dem Graphen also genauer eingrenzen,
- er muss zwischen 8,28 und 9,08 liegen. Dieses Vorgehen können wir nicht nur für eine kleine Anzahl an Teilintervallen,
- wie hier 4 oder 10, machen, sondern auch für ganz viele Teilintervalle, wie z.B. 50, 100 oder 1000.
- Wir können die Ober- und Untersumme aber auch für eine beliebige Anzahl an Teilintervallen, sagen wir n, bestimmen.
- n soll dabei eine natürliche Zahl sein. Dann erhalten wir eine Formel, in die wir für n jede beliebige natürliche Zahl einsetzen können,
- wodurch wir direkt die Ober- und Untersumme für diese Zahl an Teilintervallen erhalten. Wir haben gerade gesehen, dass wir den exakten Flächeninhalt
- durch mehr Teilintervalle genauer eingrenzen konnten. Wir werden sehen:
- Wenn wir eine immer größere Anzahl an Teilintervallen betrachten, dann können wir den exakten Flächeninhalt unter der Kurve immer genauer eingrenzen.
- In diesem Video hast du gelernt, was Ober- und Untersumme sind und wie man sie bei einer quadratischen Funktion berechnet.
- Das Integral, das heißt der exakte orientierte Flächeninhalt, wird dabei durch die Obersumme und die Untersumme eingegrenzt.
- Da die Funktion im betrachteten Intervall monoton wächst, konnten wir dabei immer mit den Funktionswerten am rechten
- bzw. linken Randpunkt der Teilintervalle arbeiten. Das funktioniert für alle monoton wachsenden Funktionen.
- Umgekehrt können wir Ober- und Untersummen aber auch für monoton fallende Funktionen bestimmen. An welchen Stellen müssen wir denn hier die Funktionswerte betrachten?
- Hier ist es genau anders herum wie bei den monoton wachsenden Funktionen: Für die Obersumme betrachten wir die Funktionswerte am linken Randpunkt
- und für die Untersumme die Funktionswerte am rechten Randpunkt der Teilintervalle. Wir können Ober- und Untersummen sogar für Funktionen berechnen,
- die in manchen Intervallen monoton wachsen und in manchen Intervallen monoton fallen. Wie das geht, zeigen wir dir im weiteren Verlauf des Kapitels im studiVEMINT-Kurs.
- Außerdem wirst du lernen, wie man mithilfe der Ober- und Untersummen für eine beliebige Anzahl n an Teilintervallen
- den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse, also das Integral, nicht nur eingrenzen, sondern exakt bestimmen kann.
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