Irrationale Zahl

Begriff und Einteilung

Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt, also nicht in der Form p/q mit p,q ∈ ℤ und q ≠ 0. Die irrationalen reellen Zahlen bilden die Differenzmenge ℝ ∖ ℚ. In der Dezimalschreibweise besitzen sie unendlich viele Nachkommastellen, ohne dass die Darstellung abbricht oder periodisch wird. Rationale Zahlen haben dagegen eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.

Irrationale Zahlen werden in zwei wichtige Gruppen eingeteilt:

• Algebraische irrationale Zahlen sind Lösungen von Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, aber keine rationalen Zahlen. Beispiele sind 1 + ∛5 und Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, etwa √2. Irrationale Lösungen quadratischer Gleichungen heißen quadratisch irrationale Zahlen.
• Transzendente Zahlen sind nicht algebraisch, also keine Lösungen einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Beispiele sind π = 3,14159… und e = 2,71828…. Weil jede rationale Zahl algebraisch vom Grad 1 ist, ist jede reelle transzendente Zahl irrational.

In zahlentheoretischen Untersuchungen innerhalb der komplexen Zahlen ℂ wird „irrational“ teilweise weiter gefasst: Dann bezeichnet der Begriff jede Zahl aus ℂ ∖ ℚ. In diesem Sinn sind alle rein imaginären Zahlen, insbesondere die imaginäre Einheit i, irrational.

Entdeckung am Beispiel von √2

Der erste Beweis für irrationale Größenverhältnisse entstand bei den Pythagoreern im 5. Jahrhundert v. Chr. Genaue Definitionen, die sich in die heutige Mathematik übertragen lassen, stehen bereits in Euklids Elementen. Moderne Formulierungen dieser Grundlagen gaben später Karl Weierstraß und Richard Dedekind an.

Das klassische Beispiel ist die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1. Nach dem Satz des Pythagoras gilt für ihre Länge d:

d² = 1² + 1² = 2,

also d = √2. Euklid bewies durch Widerspruch, dass √2 nicht als Verhältnis p/q zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Damit ist √2 irrational. Ob die Irrationalität ursprünglich mithilfe dieses Quadrats oder, wie Kurt von Fritz vermutete, durch fortgesetzte Teilung am Pentagramm entdeckt wurde, ist unbekannt.

Früher nahm die Forschung häufig an, diese Entdeckung habe eine Grundlagenkrise der griechischen Mathematik ausgelöst. Damit wurde die Legende verbunden, Hippasos von Metapont habe das Geheimnis der Irrationalität verraten und sei zur Strafe im Meer ertrunken. Heutige Wissenschaftshistoriker gehen dagegen davon aus, dass es eine solche Krise nicht gab und die Irrationalität nicht geheim gehalten wurde. Unbestritten ist, dass sich die griechische Mathematik in der Zeit nach Hippasos grundlegend veränderte.

Nachweislich irrationale Zahlen

Für zahlreiche Zahlen oder Zahlengruppen ist die Irrationalität bewiesen. Archytas von Tarent zeigte sie für √((m + 1)/m) mit natürlichem m. Der Fall m = 1 liefert √2. Euklid verallgemeinerte das Ergebnis auf beliebige Wurzeln ⁿ√((m + 1)/m). Eine weitere wichtige quadratisch irrationale Zahl ist der Goldene Schnitt Φ = (1 + √5)/2.

Die Eulersche Zahl e ist irrational; Leonhard Euler bewies dies 1737. Charles Hermite bewies 1873 sogar ihre Transzendenz. Johann Heinrich Lambert zeigte 1761 die Irrationalität von π, Ferdinand von Lindemann 1882 dessen Transzendenz.

Allgemein sind die nichtganzzahligen Nullstellen eines normierten Polynoms xⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ mit ganzzahligen Koeffizienten irrational. Insbesondere gilt dies für Quadratwurzeln aus Nichtquadratzahlen wie √2, √3, √5 und √6.

Weitere bewiesene Fälle sind:

• Roger Apéry bewies 1979 die Irrationalität der Apéry-Konstante ζ(3) = ∑ₙ₌₁^∞ 1/n³.
• Nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß ist e^α für jede algebraische Zahl α ≠ 0 transzendent.
• Aus dem Satz von Gelfond-Schneider folgen die Transzendenz und damit die Irrationalität von e^π, 2^√2 und √2^√2 = √(2^√2).
• Die lemniskatische Konstante ϖ = 2,622057… ist nach einem Beweis von Theodor Schneider aus dem Jahr 1937 transzendent.
• Solomon W. Golomb bewies 1963, dass die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen irrational ist.
• Alle liouvilleschen Zahlen sind transzendent und daher irrational.
• Für jede rationale Zahl a ≠ 0 ist tan a irrational. Für jede algebraische Zahl a ≠ 0 ist tan a nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß sogar transzendent.

Auch (Γ(1/4))²/⁴√π ist als transzendente Zahl irrational. Ob Γ(1/4) selbst irrational ist, bleibt dagegen offen.

Offene Irrationalitätsfragen

Bei mehreren bekannten Konstanten und Verknüpfungen ist die Irrationalität bis heute nicht bewiesen. Dies betrifft π + e, π − e, π · e und π/e. Von jeder beliebigen Paarbildung solcher Ausdrücke muss jedoch mindestens eine Zahl irrational sein; diese Aussage gilt allgemein für zwei beliebige transzendente Zahlen a und b.

Für kein Paar ganzer Zahlen m und n mit m ≠ 0 und n ≠ 0 ist bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Falls rationale Linearkombinationen dieser Art existieren, nimmt das Verhältnis m/n dabei einen konstanten Wert an.

Ebenfalls unbekannt ist die Irrationalität von 2^e, π^e, π^√2, π^π und e^e. Zu den offenen Fällen gehören außerdem die Catalansche Konstante G = 0,91596… und die Euler-Mascheroni-Konstante γ = 0,57721…. Dass eine Zahl aus bekannten irrationalen oder transzendenten Zahlen aufgebaut ist, reicht somit allein nicht als Irrationalitätsbeweis aus.

Wie viele irrationale Zahlen gibt es?

Eine Menge heißt abzählbar, wenn ihre Elemente in einer Folge aufgelistet werden können. Cantors erstes Diagonalargument zeigt, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind. Sein zweites Diagonalargument beweist dagegen, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, also nicht vollständig als Folge angeordnet werden kann.

Daraus folgt, dass auch die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein muss. Wäre sie abzählbar, dann wäre ℝ als Vereinigung der abzählbaren rationalen und irrationalen Zahlen ebenfalls abzählbar. Das widerspricht Cantors Ergebnis.

Auch die Menge sämtlicher algebraischer Zahlen, zu der alle Wurzelausdrücke gehören, ist nur abzählbar. Sogar die algebraische Hülle jeder abzählbaren Teilmenge von ℝ oder ℂ bleibt abzählbar. Daher kann sie niemals alle reellen Zahlen enthalten. Insbesondere zeigt dies, dass es überabzählbar viele transzendente Zahlen gibt.

Irrationale Basen und Exponenten

Es gibt irrationale Zahlen a und b, für die a^b rational ist. Dov Jarden gab 1953 dafür einen kurzen Existenzbeweis.

Man betrachtet zunächst a = b = √2 und damit √2^√2. Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist diese Zahl entweder rational oder irrational. Ist sie rational, sind mit a = b = √2 bereits zwei irrationale Zahlen gefunden, deren Potenz rational ist.

Ist √2^√2 dagegen irrational, setzt man a = √2^√2 und b = √2. Dann sind a und b irrational, aber

a^b = (√2^√2)^√2 = √2^(√2 · √2) = (√2)² = 2.

Da 2 eine natürliche und somit rationale Zahl ist, ist die Behauptung in beiden möglichen Fällen bewiesen. Der Beweis entscheidet allerdings nicht innerhalb seiner Fallunterscheidung, welcher der beiden Fälle vorliegt; er zeigt, dass einer von ihnen sicher ein passendes Beispiel liefert.