Analysis

Gegenstand und Bedeutung

Die Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik und seit Leonhard Euler im 18. Jahrhundert ein eigenständiges Gebiet. Sie ist die Mathematik der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Ihre Grundlagen entwickelten Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander als Infinitesimalrechnung.

Die Infinitesimalrechnung untersucht kontinuierliche Veränderungen. Zentrale Begriffe sind Grenzwert, Folge, Reihe und besonders Funktion. Untersucht werden reelle und komplexe Funktionen auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit. Grundlegend sind die Körper ℝ der reellen Zahlen und ℂ der komplexen Zahlen mit ihren geometrischen, arithmetischen, algebraischen und topologischen Eigenschaften.

Zur Analysis gehören neben Differential- und Integralrechnung unter anderem gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Vektoranalysis, Maß- und Integrationstheorie sowie Funktionalanalysis. Je nach Auffassung werden auch harmonische Analysis, Differentialgeometrie, analytische Zahlentheorie, Nichtstandardanalysis, Distributionentheorie und mikrolokale Analysis ganz oder teilweise dazu gerechnet.

Ableitungen und Tangenten

Bei der Geraden g(x)=mx+c ist m die Steigung und c der y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt. Sind zwei Punkte (x₀,y₀) und (x₁,y₁) gegeben, lautet die Steigung

m=(y₁-y₀)/(x₁-x₀).

Bei einer nicht linearen Funktion wie f(x)=x² beschreibt der Graph eine Kurve. An einem Punkt (x₀,f(x₀)) kann jedoch eine Tangente angelegt werden. Ihre Steigung wird angenähert, indem man eine nahe gelegene Stelle x₁ wählt und die Sekante durch (x₀,f(x₀)) und (x₁,f(x₁)) betrachtet. Deren Steigung ist

m=(f(x₁)-f(x₀))/(x₁-x₀).

Dieser Differenzenquotient heißt auch mittlere Änderungsrate. Nähert sich x₁ immer weiter x₀, so ergibt sein Grenzwert die Tangentensteigung, also die Ableitung oder den Differentialquotienten:

f′(x₀)=lim₍x→x₀₎ (f(x)-f(x₀))/(x-x₀).

Der Ausdruck lim₍x→x₀₎ bedeutet, dass der Abstand zwischen x und x₀ beliebig klein wird; lim steht für Limes. Eine Funktion f heißt an der Stelle x₀ differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert. Existiert er nicht, besitzt die Funktion dort keine Ableitung.

Integrale und Zusammenhang mit Ableitungen

Die Integralrechnung berechnet anschaulich Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche lässt sich durch Summen von Teilflächen annähern. Für eine Funktion f wird das Integral von a bis b durch den Grenzwert

∫ₐᵇ f(x) dx := lim₍n→∞₎ ((b-a)/n) Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ f(a+i(b-a)/n)

definiert. Die Folge konvergiert, wenn f bestimmte Bedingungen wie Stetigkeit erfüllt. Die Approximation durch Ober- und Untersummen entspricht dem Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird. In der Höheren Analysis gibt es weitere Integralbegriffe, zum Beispiel das Lebesgue-Integral.

Der Hauptsatz der Analysis beschreibt Differential- und Integralrechnung als zueinander „inverse“ Verfahren. Ist f auf dem kompakten Intervall [a,b] stetig, gilt für x∈(a,b):

d/dx(∫ₐˣ f(x̄) dx̄)=f(x).

Ist f zusätzlich auf (a,b) gleichmäßig stetig differenzierbar, dann gilt:

∫ₐᵇ (d/dx̄ f(x̄)) dx̄=f(b)-f(a).

Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt deshalb unbestimmtes Integral und wird durch ∫f(x)dx bezeichnet.

Funktionen mehrerer Variablen

Die mehrdimensionale reelle Analysis betrachtet Funktionen mehrerer reeller Variablen, also f:D⊆ℝᵐ→ℝⁿ. Ihre Werte werden oft als Vektor oder n-Tupel dargestellt; ein Beispiel ist f(x,y)=y·sin(x²). Norm, Konvergenz, Stetigkeit und Grenzwerte lassen sich von einer auf mehrere Dimensionen verallgemeinern. Die Norm ist dabei eine Verallgemeinerung des Betrags.

Beim Differenzieren sind partielle Ableitungen und Richtungsableitungen wichtig: Sie beschreiben Änderungen jeweils nach einer Variablen beziehungsweise in einer Richtung. Der Satz von Schwarz gibt an, wann partielle oder Richtungsableitungen verschiedener Richtungen vertauscht werden dürfen. Die totale Differentiation ist die lokale Anpassung einer linearen Abbildung an eine mehrdimensionale Funktion und entspricht der eindimensionalen Ableitung. Der Satz von der impliziten Funktion behandelt die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen und ist eine Grundlage der Differentialgeometrie.

Zu den Integralen gehören Kurven-, Oberflächen- und Raumintegrale. Wichtig sind der Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel, der Satz von Fubini zur Umwandlung von Integralen über n-dimensionale Mengen in iterierte Integrale sowie die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes. Letztere können als Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstanden werden.

Funktionalanalysis und Differentialgleichungen

Die Funktionalanalysis entwickelt eine koordinaten- und dimensionsfreie Theorie. Dadurch lassen sich Funktionen auf unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen untersuchen. Sie verbindet reelle Analysis und Topologie; auch algebraische Methoden sind wichtig. Resultate wie der Satz von Fréchet-Riesz liefern zentrale Methoden für partielle Differentialgleichungen. Insbesondere die Spektraltheorie bildet außerdem einen geeigneten Rahmen für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik und darauf aufbauender Theorien.

Eine Differentialgleichung enthält eine unbekannte Funktion und deren Ableitungen. Enthält sie nur gewöhnliche Ableitungen, heißt sie gewöhnliche Differentialgleichung, etwa y″(t)+ω₀²y(t)=0 für den harmonischen Oszillator. Enthält sie partielle Ableitungen, heißt sie partielle Differentialgleichung; ein Beispiel ist die Laplace-Gleichung Δu(x)=0.

Die Theorie der Differentialgleichungen sucht Lösungen, Lösungsmethoden und weitere Eigenschaften. Für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es eine umfassende Theorie, die bei existierenden Lösungen Lösungen zu gegebenen Gleichungen angeben kann. Partielle Differentialgleichungen sind strukturell komplizierter; deshalb untersucht man häufig nur einzelne oder kleinere Klassen. Verwendet werden vor allem Funktionalanalysis sowie Distributionentheorie und mikrolokale Analysis. Bei vielen partiellen Differentialgleichungen sind dennoch erst wenige Informationen über die Lösungsstruktur bekannt. Ein physikalisch wichtiges Beispiel ist das System der Navier-Stokes-Gleichungen; die numerische Mathematik sucht hierfür und für andere Gleichungen näherungsweise Lösungen.

Komplexe Funktionen

Die Funktionentheorie, auch komplexe Analysis, untersucht Funktionen komplexer Variablen. Sie unterscheidet sich von der reellen Analysis, die nur Funktionen reeller Variablen behandelt, durch eigenständige Methoden und andersartige Fragestellungen.

Einige Phänomene der reellen Analysis werden erst mithilfe der Funktionentheorie richtig verständlich. Das Übertragen von Fragen aus der reellen Analysis in die Funktionentheorie kann daher zu Vereinfachungen führen. Eine Wurzel der Funktionentheorie liegt in der Analysis: Die Frage, welche Funktionen die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen erfüllen, kann als Frage der Theorie partieller Differentialgleichungen verstanden werden.