Grenzwert (Folge)

Grundidee und Definition

Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist in der Analysis eine Zahl oder allgemeiner ein Objekt, dem sich die Folgenglieder annähern. Bei einer reellen Zahlenfolge ist der Grenzwert eine reelle Zahl a, in deren jeder Umgebung fast alle Folgenglieder liegen. „Fast alle“ bedeutet: alle bis auf endlich viele. Existiert ein solcher Grenzwert, heißt die Folge konvergent; existiert keiner, heißt sie divergent.

Formal heißt a ∈ R Grenzwert der Folge (a_n)_{n∈N}, wenn zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt: |a_n − a| < ε. Das bedeutet: Egal wie klein die positive Zahl ε gewählt wird, ab einem genügend großen Index N liegen alle weiteren Folgenglieder näher als ε an a. Die ε-Umgebung von a ist im reellen Fall das offene Intervall (a − ε, a + ε), auch U_ε(a) genannt.

Übliche Schreibweisen sind lim_{n→∞} a_n = a und a_n → a für n → ∞. In Kurzform lautet die Definition: lim_{n→∞} a_n = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N: |a_n − a| < ε. Mit Umgebungen schreibt man entsprechend: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n ≥ N: a_n ∈ U_ε(a).

Eindeutigkeit, Beispiele und Rechenregeln

Der Grenzwert einer Folge ist, falls er existiert, eindeutig. Hätte eine Folge zwei verschiedene Grenzwerte a ≠ b, dann hätten diese den Abstand d = |a − b| > 0. Wählt man ε < d/2, so schneiden sich die ε-Umgebungen von a und b nicht. Nach der Definition müssten aber ab einem bestimmten Index alle Folgenglieder zugleich in beiden Umgebungen liegen. Das ist ein Widerspruch, also muss a = b gelten.

Ein grundlegendes Beispiel ist die Nullfolge a_n = 1/n. Sie konvergiert gegen 0. Zum Beweis wählt man zu einem gegebenen ε > 0 eine natürliche Zahl N mit N > 1/ε. Dann gilt für alle n ≥ N: |a_n − 0| = 1/n ≤ 1/N < ε. Konstante Folgen a_n = c konvergieren gegen c. Die Folge der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; …) konvergiert gegen √2. Die Folge e_n = (1 + 1/n)^n konvergiert gegen die Eulersche Zahl e; allgemeiner konvergiert (1 + r/n)^n gegen e^r. Dagegen divergiert die Folge a_n = (−1)^n, weil sie zwischen 1 und −1 wechselt.

Für Grenzwerte gelten Rechenregeln. Ist lim a_n = a, dann gilt für jedes c ∈ R: lim(ca_n) = ca, lim(c + a_n) = c + a und lim(c − a_n) = c − a. Ist a ≠ 0, gilt ab einem gewissen Index a_n ≠ 0 und lim(c/a_n) = c/a. Sind lim a_n = a und lim b_n = b, dann gilt lim(a_n + b_n) = a + b, lim(a_n − b_n) = a − b und lim(a_n · b_n) = a · b. Ist b ≠ 0, gilt außerdem lim(a_n/b_n) = a/b. So erhält man zum Beispiel lim_{n→∞} (2n² − 1)/(n² + 1) = 2.

Beschränkung, wichtige Grenzwerte und Funktionen

Für konvergente reelle Folgen gilt: Hat eine Folge (a_n) eine obere Schranke σ, also a_n ≤ σ für alle n, dann ist auch ihr Grenzwert a ≤ σ. Hat sie eine untere Schranke σ, also a_n ≥ σ für alle n, dann gilt a ≥ σ. Monotonie wird dafür nicht vorausgesetzt.

Wichtige Grenzwerte sind lim_{n→∞} 1/n = 0, lim_{n→∞} n√n = 1, lim_{n→∞} (1 + z/n)^n = e^z für komplexe und damit insbesondere für reelle Zahlen z, lim_{n→∞} n(a^{1/n} − 1) = ln a für reelle a > 0 sowie lim_{n→∞} (Σ_{i=1}^n 1/i − ln n) = γ, wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Grenzwertbildung und Funktionsauswertung dürfen bei stetigen Funktionen vertauscht werden. Ist f: R → R stetig im Punkt a und gilt a_n → a, dann gilt lim_{n→∞} f(a_n) = f(lim_{n→∞} a_n) = f(a). Für eine stetige Funktion g: R² → R im Punkt (a,b) und Folgen a_n → a, b_n → b gilt entsprechend lim_{n→∞} g(a_n,b_n) = g(a,b). Die Rechenregeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division folgen aus der Stetigkeit dieser Operationen, bei Division nur mit Nenner ungleich Null. Umgekehrt gilt für reelle Funktionen: Wenn für alle Folgen a_n → a auch lim f(a_n) = f(a) gilt, dann ist f im Punkt a stetig.

Konvergenzkriterien und Divergenz

Die Definition der Konvergenz setzt voraus, dass der mögliche Grenzwert bekannt ist oder vermutet wird. Konvergenzkriterien erlauben manchmal den Nachweis der Konvergenz ohne bekannten Grenzwert. Das Monotoniekriterium besagt: Eine monoton wachsende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist; der Grenzwert ist dann kleiner gleich der oberen Schranke. Formal: a_n ≤ a_{n+1} und a_n ≤ A für alle n ⇒ a_n konvergiert und lim_{n→∞} a_n ≤ A. Entsprechend konvergiert eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge.

Das Cauchy-Kriterium nutzt den Begriff Cauchy-Folge. Eine Folge (a_n) heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N: ∀ n,m ∈ N mit n ≥ N, m ≥ N gilt |a_m − a_n| < ε. In den reellen Zahlen ist eine Folge genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Dieses Kriterium ist wichtig bei der Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen und bei metrischen Räumen.

Ist Konvergenz nachgewiesen, kann man Grenzwerte oft näherungsweise durch Einsetzen großer n bestimmen. Für e gilt zum Beispiel (1 + 1/n)^n < e < (1 + 1/n)^{n+1}; bei n = 1000 ergibt das 2,7169… < e < 2,7196…. Ein allgemeines Verfahren zur exakten Bestimmung von Grenzwerten gibt es aber nicht; manchmal helfen die Regel von de L’Hospital, Integrale oder geeignete Umformungen.

Bei reellen Folgen unterscheidet man bestimmte und unbestimmte Divergenz. Bestimmte Divergenz gegen +∞ liegt vor, wenn ∀ M ∈ R ∃ N ∈ N ∀ n > N: x_n > M. Gegen −∞ gilt entsprechend ∀ M ∈ R ∃ N ∈ N ∀ n > N: x_n < M. Man schreibt dann lim x_n = ∞ oder lim x_n = −∞ und spricht auch von uneigentlichen Grenzwerten. Die Folge (n) divergiert bestimmt gegen ∞. Die Folgen (+1; −1; +1; −1; …) und (1; −2; 3; −4; …) divergieren unbestimmt.

Häufungspunkte und Zahlbereiche

Ein Häufungspunkt oder Häufungswert ist eng mit dem Grenzwert verwandt. Für einen Grenzwert a muss in jeder ε-Umgebung ab einem gewissen Index jedes weitere Folgenglied liegen: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N: |a_n − a| < ε. Für einen Häufungspunkt a genügt: ∀ ε > 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N: |a_n − a| < ε. In jeder Umgebung liegen also unendlich viele Folgenglieder, aber nicht unbedingt alle ab einem bestimmten Index.

Jeder eigentliche oder uneigentliche Grenzwert ist auch ein entsprechender Häufungspunkt. Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert, kann aber mehrere Häufungspunkte haben. Zu jedem Häufungspunkt gibt es eine Teilfolge, die gegen ihn konvergiert oder bestimmt divergiert. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthält jede beschränkte reelle Folge eine konvergente Teilfolge. Ist eine Folge nach oben unbeschränkt, enthält sie eine gegen +∞ bestimmt divergente Teilfolge; ist sie nach unten unbeschränkt, eine gegen −∞ bestimmt divergente Teilfolge. Jede reelle Folge besitzt somit mindestens einen eigentlichen oder uneigentlichen Häufungspunkt. Der größte heißt Limes superior, der kleinste Limes inferior. Stimmen beide überein, ist dieser Wert der eigentliche oder uneigentliche Grenzwert; andernfalls ist die Folge unbestimmt divergent.

Bei rationalen Zahlen wird der Grenzwert formal wie bei reellen Zahlen definiert, die rationalen Zahlen werden dabei in die reellen eingebettet. Eine Folge rationaler Zahlen kann jedoch gegen eine irrationale Zahl konvergieren, etwa die Dezimalbruchfolge von √2. Daher haben die rationalen Zahlen „Lücken“. Für die Frage, ob eine Folge konvergiert, ist der betrachtete Zahlenbereich wichtig. Üblicherweise werden Grenzwerte über den reellen Zahlen betrachtet.

Bei komplexen Zahlen lautet die Definition ebenfalls ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N: |a_n − a| < ε, wobei a_n und a komplex sind und ε reell ist. Eine Ordnung wie a − ε < a_n < a + ε gibt es dort nicht, und Begriffe wie monoton steigend oder fallend sind nicht geeignet. Das Monotoniekriterium ist daher nicht anwendbar. Eine komplexe Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist; außerdem genau dann, wenn Realteilfolge und Imaginärteilfolge konvergieren.

Allgemeine Räume und Anwendungen

Der Grenzwertbegriff lässt sich auf metrische Räume übertragen. Ein metrischer Raum (X,d) ist eine Menge X mit einem Abstand d. Eine Folge (a_n) in X konvergiert gegen a ∈ X, wenn ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N: d(a,a_n) < ε. Das ist dieselbe Idee wie bei reellen Zahlen, nur wird |a_n − a| durch den Abstand d(a_n,a) ersetzt. Man schreibt lim_{n→∞} a_n = a, a_n → a oder, wenn die Metrik betont werden soll, a_n → a bezüglich d.

Auch in metrischen Räumen gibt es Cauchy-Folgen: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n,m > N: d(a_m,a_n) < ε. Hat jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, heißt der Raum vollständig. Die reellen und komplexen Zahlen sind vollständig, die rationalen Zahlen nicht. Ein unvollständiger metrischer Raum kann durch Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigt werden, wobei (a_n) ∼ (b_n) gilt, wenn d(a_n,b_n) → 0. In vollständigen metrischen Räumen gilt zudem: Konvergiert die Summe Σ d(a_n,a_{n+1}), dann ist (a_n) konvergent.

In topologischen Räumen wird der Grenzwert über Umgebungen definiert. Für einen topologischen Raum (X,T) gilt lim a_n = a genau dann, wenn für jede Umgebung U von a ein N existiert, sodass für alle n > N gilt: a_n ∈ U. Eine Umgebungsbasis genügt für den Nachweis. In metrischen Räumen bilden die offenen Kugeln B_ε(a) = {x ∈ X | d(x,a) < ε} eine solche Basis. Allgemeine topologische Räume können Folgen mit mehreren Grenzwerten besitzen; erfüllt der Raum das hausdorffsche Trennungsaxiom, hat jede Folge höchstens einen Grenzwert. In Räumen ohne erstes Abzählbarkeitsaxiom reichen Folgen allein nicht aus, dort werden Netze betrachtet.

Weitere Konvergenzbegriffe treten bei Funktionenfolgen und in der Stochastik auf. Bei Funktionenfolgen hängt der passende Begriff vom Abstand im Funktionenraum und von Eigenschaften der Grenzfunktion ab; die Grenzfunktion stetiger Funktionen muss nicht stetig sein. In der Stochastik gibt es etwa Konvergenz im p-ten Mittel, Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und fast sichere Konvergenz. Die Fréchet-Axiome formulieren einen sehr allgemeinen Konvergenzbegriff: Jede Folge hat höchstens einen Grenzwert, jede konstante Folge x_n = x konvergiert gegen x, und jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen denselben Grenzwert. Für praktische Iterationsverfahren, bei denen Konvergenz nicht von Anfang an bekannt ist, wird oft pragmatisch geprüft, ob Werte hinreichend nahe an einem vermuteten Grenzpunkt liegen, zum Beispiel mithilfe des Cauchy-Kriteriums.