Lebesgue-Integral

Grundidee und Bedeutung

Das Lebesgue-Integral ist der zentrale Integralbegriff der modernen Mathematik. Es integriert messbare Funktionen auf beliebigen Maßräumen und verallgemeinert auf den reellen Zahlen mit dem Lebesgue-Maß das Riemann-Integral. Es ist besonders wichtig in der Funktionalanalysis, der Physik und der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Beim Riemann-Integral wird der Definitionsbereich, also anschaulich die x-Achse, in Intervalle zerlegt. Beim Lebesgue-Integral unterteilt man dagegen den Wertebereich, also die y-Achse. Für jeden betrachteten Funktionswert wird bestimmt, welches Maß die Menge der Stellen besitzt, an denen dieser Wert angenommen wird. Produkte aus Funktionswert und Maß werden anschließend addiert. Dadurch lassen sich auch Funktionen integrieren, die nicht Riemann-integrierbar sind.

Die Konstruktion baut schrittweise aufeinander auf: Zuerst integriert man einfache Funktionen, dann nichtnegative messbare Funktionen und schließlich beliebige messbare Funktionen. Grundlage ist die Maßtheorie. Henri Lebesgue gab die erste Definition in seiner Pariser Dissertation von 1902; die heute übliche Konstruktion folgt William Henry Youngs Ansatz von 1905.

Maßräume und einfache Funktionen

Ein Maßraum besteht aus einer Grundmenge Ω, einer festgelegten Klasse messbarer Teilmengen und einem Maß μ. Das Maß ordnet jeder messbaren Menge A eine nichtnegative reelle Zahl oder +∞ zu. Diese Zahl beschreibt je nach Anwendung beispielsweise Länge, Fläche, Volumen oder Wahrscheinlichkeit.

Für Teilmengen von ℝⁿ verwendet man gewöhnlich das Lebesgue-Maß λ. Einem n-dimensionalen Hyperrechteck weist es sein übliches Volumen zu: λ([a₁,b₁] × … × [aₙ,bₙ]) = (b₁−a₁) · … · (bₙ−aₙ).

Eine einfache Funktion, auch Elementarfunktion genannt, ist eine nichtnegative messbare Funktion, die nur endlich viele Werte αᵢ annimmt. Sie lässt sich in der Form φ = Σᵢ₌₁ⁿ αᵢχ_Aᵢ schreiben. Dabei sind die Aᵢ paarweise disjunkte messbare Mengen und χ_Aᵢ ihre charakteristischen Funktionen: χ_Aᵢ ist auf Aᵢ gleich 1 und außerhalb gleich 0. Das Integral wird definiert durch ∫_Ω φ dμ := Σᵢ₌₁ⁿ αᵢ μ(Aᵢ). Es ist also die Summe der Produkte aus jedem Funktionswert und dem Maß der Menge, auf der dieser Wert angenommen wird.

Definition für messbare Funktionen

Eine nichtnegative Funktion f ist genau dann messbar, wenn es eine Folge einfacher Funktionen (fₙ) gibt, die punktweise und monoton wachsend gegen f konvergiert. Ihr Integral ist ∫_Ω f dμ = limₙ→∞ ∫_Ω fₙ dμ. Dieser Grenzwert hängt nicht von der gewählten approximierenden Folge ab und darf +∞ sein. Gleichwertig gilt ∫_Ω f dμ = sup {∫_Ω φ dμ | φ einfach, 0 ≤ φ ≤ f}. Das bedeutet: f wird von unten durch einfache Funktionen angenähert.

Für eine beliebige messbare Funktion f definiert man den Positivteil f⁺ = max{f,0} und den Negativteil f⁻ = max{−f,0}. Dann gelten f = f⁺−f⁻ und |f| = f⁺+f⁻. Ist mindestens eines der Integrale ∫_Ω f⁺ dμ und ∫_Ω f⁻ dμ endlich, heißt f μ-quasiintegrierbar, und man setzt ∫_Ω f dμ = ∫_Ω f⁺ dμ − ∫_Ω f⁻ dμ. Sind beide Integrale endlich, heißt f μ-integrierbar. Dazu gleichwertig ist ∫_Ω |f| dμ < ∞.

Für eine messbare Teilmenge A ⊆ Ω wird das Integral über A durch ∫_A f dμ = ∫_Ω f·χ_A dμ definiert. Auf ℝⁿ schreibt man beim Lebesgue-Maß meist dx statt dλ(x). Besitzt μ eine Radon-Nikodým-Dichte h bezüglich des Lebesgue-Maßes, gilt ∫_A f(x) dμ(x) = ∫_A f(x)h(x) dx. Ein durch eine Verteilungsfunktion F bestimmtes Maß führt zum Lebesgue-Stieltjes-Integral ∫_A f dF. Ist μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und f eine Zufallsvariable, so ist ihr Erwartungswert 𝔼(f) = ∫_Ω f dμ.

Nullmengen und Rechenregeln

Eine messbare Menge N mit μ(N) = 0 heißt Nullmenge. Für eine integrierbare Funktion gilt ∫_N f dμ = 0 und daher ∫Ω f dμ = ∫{Ω∖N} f dμ. Das Integral ändert sich somit nicht, wenn eine Funktion nur auf einer Nullmenge verändert wird. Eine Eigenschaft gilt fast überall, wenn sie außerhalb einer Nullmenge erfüllt ist. Funktionen, die fast überall übereinstimmen, werden in der Integrationstheorie häufig als Elemente derselben Äquivalenzklasse behandelt.

Eine Nullmenge kann dennoch unendlich viele oder sogar überabzählbar viele Elemente enthalten. Die rationalen Zahlen ℚ bilden in ℝ eine Lebesgue-Nullmenge; auch die Cantor-Menge ist eine überabzählbare Lebesgue-Nullmenge.

Auf dem Raum ℒ¹ der integrierbaren Funktionen ist das Integral linear. Für integrierbare f und g sowie α, β ∈ ℝ gilt ∫_Ω (αf+βg) dμ = α∫_Ω f dμ + β∫_Ω g dμ. Es ist außerdem monoton: Aus f ≤ g folgt ∫_Ω f dμ ≤ ∫_Ω g dμ. Integrale können über Mengen zerlegt werden; beispielsweise gilt ∫Ω f dμ = ∫{Ω∖N} f dμ + ∫_N f dμ.

Grenzwerte und Konvergenzsätze

Ein wichtiger Vorteil des Lebesgue-Integrals besteht darin, dass sich unter klaren Voraussetzungen Grenzwert und Integral vertauschen lassen.

Der Satz von der monotonen Konvergenz von Beppo Levi (1906) besagt: Ist (fₙ) eine monoton wachsende Folge nichtnegativer messbarer Funktionen, dann gilt ∫_Ω supₙ fₙ dμ = ∫_Ω limₙ→∞ fₙ dμ = limₙ→∞ ∫_Ω fₙ dμ.

Der Satz von der majorisierten oder dominierten Konvergenz von Henri Léon Lebesgue (1910) setzt voraus, dass messbare Funktionen fₙ μ-fast überall gegen eine messbare Funktion f konvergieren und dass fast überall |fₙ| ≤ g für eine integrierbare Funktion g gilt. Dann ist f integrierbar, und es gelten limₙ→∞ ∫_Ω fₙ dμ = ∫_Ω f dμ sowie limₙ→∞ ∫_Ω |f−fₙ| dμ = 0.

Das Lemma von Fatou von Pierre Fatou (1906) liefert für nichtnegative messbare Funktionen die Abschätzung ∫_Ω lim infₙ→∞ fₙ dμ ≤ lim infₙ→∞ ∫_Ω fₙ dμ.

Vergleich, Beispiele und Erweiterung

Auf einem kompakten Intervall ist jede Riemann-integrierbare Funktion auch Lebesgue-integrierbar; beide Integrale haben denselben Wert. Umgekehrt ist nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion Riemann-integrierbar. Bei uneigentlichen Integralen ist zusätzlich zu unterscheiden: Eine uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion muss nicht insgesamt Lebesgue-integrierbar sein. Ist jedoch |f| uneigentlich Riemann-integrierbar, dann ist f auch als Ganzes Lebesgue-integrierbar.

Ein Beispiel für den ersten Unterschied ist eine Treppenfunktion mit aufeinanderfolgenden vorzeichenwechselnden Flächen 1, −1/2, 1/3 usw. Ihr uneigentliches Riemann-Integral entspricht der konvergenten alternierenden harmonischen Reihe. Sie ist aber nicht Lebesgue-integrierbar, weil das Integral ihres Betrags der divergenten harmonischen Reihe entspricht und deshalb ∫_{ℝ⁺}|f| dλ < ∞ nicht erfüllt ist.

Das bekannteste Gegenbeispiel in umgekehrter Richtung ist die Dirichlet-Funktion auf [0,1]: Sie ist für rationale x gleich 1 und sonst gleich 0. Sie ist nicht Riemann-integrierbar, weil jede Untersumme 0 und jede Obersumme 1 ist. Da ℚ eine Lebesgue-Nullmenge ist, stimmt die Funktion aber fast überall mit der Nullfunktion überein. Ihr Lebesgue-Integral existiert daher und hat den Wert 0.

Das Bochner-Integral erweitert das Lebesgue-Integral unmittelbar auf Funktionen mit Werten in einem Banachraum. Es besitzt fast alle Eigenschaften des Lebesgue-Integrals, darunter den Satz von der majorisierten Konvergenz.