Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Untersumme Obersumme berechnen – Rechtecksummen Integral
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 89 Zeilen
- halil heute möchte ich euch zeigen wie man die unter summe und die ober summe berechnen kann und wir werden das ganze zusammen an diesem beispiel hier schritt
- für schritt durch gehen bevor wir da aber hingehen möchte ich euch kurz noch zeigen worum es überhaupt geht bei dem ganzen wenn er zum beispiel so eine
- funktion bekommt dann will man den flächen inhalt unter dieser kurve berechnen also hier was die x-achse mit dem grafen einschließt dieses flächen
- stück das will man berechnen und da hat man jetzt noch keine möglichkeiten für wird später das ganze aber mit dem integral machen da kann man das ganze
- auch wirklich exakt berechnen aber solange man noch nicht da ist hat man sich gedacht okay vielleicht kann ich ja auch
- berechnen also jetzt nicht exakt aber relativ gute annäherung finden und da war das naheliegendste einfach zu sagen hier guck mal wenn ich mir hier unten
- diese x-achse einfach mal aufteilen gleich große teile ist einmal die vier hier und einfach hier unten so rechtecke darunter legt dann ist das rechteck wenn
- ich den flächen inhalt davon berechnen ist es ja der flächen inhalt von dem stück basiere graf mit der x-achse einschließt und so
- haben geht man einfach weiter und sagte okay hier dann lege ich auch ein recht erkennen das rechteck kann ich ja auch berechnen das sieht doch ganz gut aus
- dann gehe ich weiter zum nächsten rechteck und ist letzter rechteck wäre hier hinten und von all diesen rechtecken berechne ich den flächen
- inhalt von allen die diese unter dem grafen gerade noch so unter dem grafen liegen und das ist die untersuchung die unter summe ist einfach nur so eine
- annäherung an den eigentlichen flächen inhalt und die oper summe ist auch sehr ähnlich ihr könnt euch gleich denken dann bleibt man nicht unterhalb des
- grafen sondern sagen hier ist doch auch noch ein rechteck das sind akten über dem grafen liegt wenn ich von dem den flächen inhalt ausrechnen bin ich zwar
- ein bisschen drüber aber trotzdem auch schon nah dran und auch hier mache ich das auch hier das rechteck und das rechteck und hierhin noch das rechteck
- und wenn ich von all denen den flächen inhalt ausrechnen und zusammenrechne dann ist das die obersuhl also es ist super anschaulich eigentlich aber gerne
- auch ein drama wenn man das am anfang hat weil es einfach so viel zeug beinhaltet was man bedenken muss wenn man aber strukturiert vorgeht geht's
- eigentlich lasst uns mal an die aufgabe herangehen und erstmal die aufgabe lesen gegeben ist die funktion f von iks gleich 1x quadrat wir bekommen also eine
- funktion das ist wichtig die brauchen wir auf jeden fall teil skizziere den grafen im intervall von null bis eins also wir bekommen jetzt
- ein intervall auf der x-achse zwischen 0 und 1 sollen wir unseren grafen gleich zeichnen und zerlege dieses intervall in vier gleich große teil intervalle super
- wichtige informationen wie wir dieses intervall also diesen diese strecke von null bis eins ist unter teilen sollen wir können ja auch sagen
- ob wir machen nur zwei teile das ist einer das ist einer oder wir machen vier teile dann werden die so oder wir machen acht teile dann werden die noch kleiner
- und je mehr teile ihr macht desto exakter werden eure berechnung von diesen von dieser fläche hier sollen wir jetzt vier gleich große teile machen ich
- habe jetzt hier so eingezeichnet weil man das hier jetzt leicht sieht was vier wie ich dass sie aufteilen muss damit es vier gleich große teile werden aber
- vielleicht ist das bei euch gar nicht so einfach und deswegen sage ich euch jetzt wie ihr wisst in welchen schritten man hier dann vorgeht schaut euch an wie
- langer intervall ist mainz läuft von null bis eins also es hat die länge 1 wenn es von null bis drei läuft hat die länge 3 und diese länge die teile ich
- jetzt durch die anzahl wie viele unterteilungen ich machen soll also ich rechne 1 durch diese vier teile und 1 durch vier wenn man es aus rechnet kommt
- man auf 0,25 und diesen 0,25 das ist meine schrittlänge von meinen einzelnen bereichen also von 0 bis 0,25 ist mein erster schritt der zweite schritt ist
- dann von 0,25 bis 0,5 dass ritter geht bis 0,75 und danach bin ich schon am ende des intervalls angekommen also diese unterteilung ist superwichtig am
- anfang schaut euch also an welches intervall hab ich von wo bis wo soll ich das ganze zeichnen und in wie viele teile soll ich das unterteilen und dann
- schaut euch an welche schrittlänge das dann mit sich bringt und diese schrittlänge ist super wichtig denn wir sollten diesen grafen jetzt zeichnen das
- würden wir gerne mit einer werte tabelle machen und für eine werte tabelle müssen wir natürlich wissen von welchen punkten sollen wir denn die werte ausrechnen und
- das werden wir jetzt von 0 machen von 0,25 von jedem dieser striche die wir hier gemacht haben deswegen ganz wichtig für das anlegen der werz tabelle so hier
- haben wir jetzt ein bisschen mehr platz hier ist unsere funktion das war unser intervall wir starten mit unserer werte tabelle also xy ihr könnt es im
- taschenrechner auch mit der table funktion machen ich habe jetzt hier ganz oldschool machen und einfach die werte also meine ex werte sind ja 0
- 0,25 haben wir gerade im erklärt dass es eben diese schritte sind dass ich die alle brauche bis zur 1 und dann falls sie keinen taschenrechner benutzen
- dürfen setzt ihr eben die werte die iks werte einzeln ein und rechnet es aus also 1 - 0 zum quadrat wäre 1 da als nächstes das selbe mit der nummer 251
- minus 0,25 zum quadrat okay das ist jetzt ein bisschen schwierig heraus zu rechnen aber 0.94 kommt daraus ungefähr wenn jetzt auch im taschenrechner macht
- dann ist da natürlich mit der 0,5 reinpacken und ausrechnen und so weiter und dann habt ihr eure vollständige wert tabelle die super wichtig ist die
- brauchen wir jetzt die ganze zeit deswegen machte ordentlich schreibt die schön hin damit ihr gerne mit ihr arbeitet jetzt lasst uns den grafen
- zeichnen ich werd 0 y 1 also bei null hoch zur 12 025 hoch zur 0,94 ungefähr bei der 0 5 zur 075 bei der 0 75 44 und bei der 1
- bleiben wir unten bei der 0 dann verbinden wir das ganze und haben co es sieht gut aus diesen grafen den habe ich mir jetzt noch mal im schönen
- zeichen lassen damit es ein bisschen sauberer ist unsere werte tabelle nehmen wir mit das haben wir jetzt alles schon geschafft dann schauen wir uns kurz die
- aufgabe noch mal wir haben den grafen skizziert zwischen 0 und 1 und umso intervall auch in vier gleich große und teile geteilt teil h ist erledigt zb die
- berechne die zugehörige unter summe ufi also mit der untersuchung starten wir jetzt aber alle vorbereitungen die wir gerade eben gemacht haben die müsst ihr
- immer machen auch wenn direkt dagestanden hätte berechnet die unter summe ihr braucht einen grafen ihr braucht eine werte tabelle gut jetzt
- geht es los wir sollen u4 berechnen ich habe ich eben schon gesagt man zeichnet hier zurecht ecke rein wir wissen schon mal dass unser rechteck
- 0,25 breit wird weil wir haben ja schon gesagt dass in unserer einzelnen teilgebiete jetzt in dem beispiel wie hoch wird dieses rechteck jetzt werden
- naja ihr geht hier ans linke ende wenn ihr da hoch wandert kommt ihr hier bei der 1 raus wenn ihr auf der rechten seite hoch wandert kommt ihr ein stück
- weiter unten raus und das ist gut für die unter summe denn wir müssen ja unten bleiben also das kürzere stück von rechts und links das benutzt ihr für
- euer rechtecke also dass hier wird unser erstes rechteck werden wenn wir von dem jetzt in flächen den halter ausrechnen dann müssen wir die seite ja mit der
- höhe des rechtecks multiplizieren wie breit ist es wichtig das wissen wir jetzt schon das ist 0,25 breit gewesen multipliziert wie hoch ist das rechteck
- schau in euren herzen bälle wir vergleichen hier gerade bei null und 0 25 hier die y werte wir sind bei der
- untersuchung brauche also den kleineren wert also die 0,94 das ist ja auch der wert hier bei der
- 0,25 der kleinere wertigen 0,94 ist kleiner da ist die 1 gut dann geht es jetzt schon weiter hinzu kommt das nächste rechteck auch da
- schauen wir was müssen wir vergleichen jetzt ist es bei 0,25 und 0,85 also jetzt sind diese beiden spalten hier wichtig für uns auch da könnt ihr links
- mal schauen wie hoch ihr laufen müssten relativ hoch rechts mal schauen wie vogel auf müsstet nicht so hoch also wird das unsere höhe werden von diesem
- neuen rechteck dass wir hier dann so zeichnen welchen flächen inhalt hat dass die breite hat sich nicht verändert die ist immer noch 0,25 und welche höhe hat
- es können wir auch hier direkt vergleichen wir nehmen von den ypsilon werten den kleineren also die 075 können wir aber auch hier sehen dass das hier
- auf der rechten seite bei der 0 5 war das war die 0,75 hinzukommt ist längst richtig also wieder die breite hier wir schauen links
- wie hoch wir laufen müssen relativ hoch recht ist das ganze ein bisschen kürzer deswegen bei der untersuchung nahmen wir den kürzeren weg und haben hier unser
- rechteck flächen inhalt ihr habt bestimmt schon verstanden wie es geht breit ist das rechteck 0,25 und hoch ist es na ja wo sind wir jetzt gerade hier
- wir vergleichen gerade denn 0,5 wert und in 0,75 wert das heißt die y werte davon vergleichen wir nehmen den kleineren die 0,44 und
- das letzte rechteck das ist jetzt so ein bisschen spannender breit ist es 025 das wissen wir und wie hoch ist das wenn links hoch laufen wenn wir bis hierhin
- laufen wenn wir recht hoch laufen müssen wir einfach hier unten bleiben weil da ist direkter graf also dieses rechteck hier ist nicht sonderlich hoch müssen
- wir gleich meine tabelle gucken wie hoch ist denn wäre wir vergleichen ja den 0,75 und den einsatz bereit ist es immer noch 0,25
- aber wie hoch ist es naja guck mal y werte an den kleineren wählen wir der ist 0 hoch also das wird mit 0 multipliziert im grunde ist da keine
- fläche wie man ja auch ihr seht und sie jetzt wird das ganze nur noch ausgerechnet alles hier zusammengerechnet dann kommt man auf
- 0,53 und das ist der flächen inhalt von also oder das ist die unter summe also der flächen inhalt unterhalb des grafen wenn wir da unsere rechte ecke rein
- zeichnen ihn schön sollte das ganze übrigens so aussehen also das ist die unter summe kennt ihr bestimmt vorne grafiken
- hier diese rechtecke die man unterhalb skaven eben ein zeichnet und auch hier hinten dieses letzte rechteck was man gar nicht mehr wirklich sieht ok dann
- lasst uns jetzt an die summe gehen nachdem wir die untersuchung abgehakt hatten die ober summe ist natürlich sehr ähnlich aber wir wählen jetzt nicht die
- kleineren werte sondern könnte ich mir schon vorstellen die größeren werte weil wir wollen ja oberhalb des ganzen liegen immer mal grün für die ober summe in
- vier teilen er ist es wichtig auch hier geht man links nach oben und rechts nach oben und nimmt jetzt bei der ober summe den weg der länger geht und es wäre hier
- der linke nämlich bis dahin dann nach rechts rüber und dann nach unten und dass wir unser erstes rechteck also wir vergleichen hier von 0 bis 0,25 und da
- werden diese werte von der höhe verglichen wir nehmen den größeren bei der oberflächen inhalt ausrechnen 0,25 in
- der breite x der und die ist hier daneben eine größere wert nämlich die 1 nächstes rechteck hat es wieder hier weg jetzt geht man hier
- ein zweiter und vergleicht die beiden von 0,25 bis 0,5 gucken wo der längere weg rechts oder links ist links ist bis zum grafen dann rüber und euer rechteck
- zeichnen breit ist es immer noch 0 25 daran ändert sich gar nichts wie hoch ist es geht hier an die beiden stellen schaut euch die y werte an den größeren
- nehmt ihr bei der ober summe und das ist 094 nächstes rechteck es ist wieder 0,25 breit aber wie hoch das kann mittlerweile auch tatsächlich
- eine werte tabelle sehen wir vergleichen nehme ich jetzt diese beiden also von 0 35 bis 0 75 da nehmen wir von den ypsilon werten den größeren also die
- 0,75 braucht es am graf eigentlich gar nicht es sei denn ihm ist ein zeichnen also ein zeichen solltet ihr trotzdem noch
- links ist der höhere bis zum grafen gehen und dann hier so runter mit eurem rechteck und dann kommt noch das letzte dazu das natürlich immer noch 0 25
- bereit ist rechts kommen wir gar nicht hoch links läuft man bis zum grafen macht sein rechteck und wie hoch ist es naja
- vergleichen wir jetzt die letzten beiden von 0,75 bis zu 1 dann nehmen wir den größeren wert also die nummer 44 ihr seht es ist schon man muss konzentriert
- bleiben welche werte man nimmt aber markiert euch das ruhig einer wette tabelle dann kommt man damit ganz gut zurecht und wenn ihr das aus rechnet
- kommt man auf 0,78 ihr seht die ober summe es 0,78 die ist größer als die unter summe die bei 0,53 also über summe ist natürlich dann
- größer als die untersuchung weil sie liegt ja oberhalb unseres grafen und das ist die ober und unter summe am anfang die wirkt wirklich sehr chaotisch und
- man braucht da ein paar anläufe bis man da eine struktur für sich selbst gebastelt hat dass man genau weiß was man macht aber
- ansonsten hoffe ich dass sie jetzt ist wie ihr zumindest mal fand dann macht's gut und wir sehen uns in den nächsten video ciao
Zum Nachlesen
IntegralrechnungDie Integralrechnung ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem …
MathematikAn deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der …